Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Hoành độ giao điểm (P) ; (d) thỏa mãn pt
\(x^2=2x-m\Leftrightarrow x^2-2x+m=0\)
Để pt có 2 nghiệm pb khi \(\Delta'=1-m>0\Leftrightarrow m< 1\)
Vậy với m < 1 thì (P) cắt (d) tại 2 điểm pb
b, Theo Vi et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m\end{cases}}\)
Ta có : \(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=2\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2}=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{\left(x_1x_2\right)^2}=2\)Thay vào ta có :
\(\Leftrightarrow\frac{4-2m}{m^2}=2\Leftrightarrow4-2m=2m^2\Leftrightarrow2m^2+2m-4=0\)
mà a + b + c = 0 => 2 + 2 - 4 = 0
vậy pt có 2 nghiệm
\(m_1=1\left(ktm\right);m_2=-2\left(tm\right)\)
1. a) Để hàm số đồng biến thì m-1>0\(\Rightarrow\)m>1 b) Để hàm số nghịch biến m-1<0\(\Rightarrow\)m<1 2. a) Tự làm b) Xét phương trình hoành độ -2x+1=2x\(\Rightarrow\)x=1/4\(\Rightarrow\) y=1/2. Vậy giao điểm của d và d' có tọa độ (1/4; 1/2)
3 a)ĐKXĐ \(x\ge0\)\(x\ne1\)A=\(\frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+1-2\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)=\(\frac{-2}{\sqrt{x}+1}\) b)Khi x= \(6-2\sqrt{5}\)thì A=\(\frac{-2}{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}+1}\)=\(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
Gọi \(M\left(x;-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\right)\) thuộc (d).
Ta có \(O\left(0;0\right)\). Vậy \(OM^2=x^2+\left(\frac{5}{3}-\frac{2}{3}x\right)^2=\frac{13}{9}x^2-\frac{20}{9}x+\frac{25}{9}=\frac{13}{9}\left(x-\frac{10}{13}\right)^2+\frac{25}{13}\ge\frac{25}{13}\)
Suy ra \(OM\ge\frac{5}{\sqrt{13}}\). Đẳng thức xảy ra khi \(x=\frac{10}{13}\)
Vậy \(M\left(\frac{10}{13};\frac{15}{13}\right)\) thì khoảng cách OM ngắn nhất.
2) Đẳng thức điều kiện tương đương với \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)=1\Rightarrow1+a,1+b,1+c\ne0\)
Ta có: \(S=\frac{1}{1+\left(1+a\right)+\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{1}{1+\left(1+b\right)+\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)\(+\frac{1}{1+\left(1+c\right)+\left(1+c\right)\left(1+a\right)}\)
\(=\frac{1}{1+\left(1+a\right)+\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{1+a}{\left(1+a\right)\left[1+\left(1+b\right)+\left(1+b\right)\left(1+c\right)\right]}\)\(+\frac{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\text{[}1+\left(1+c\right)+\left(1+c\right)\left(1+a\right)\text{]}}=\frac{1+\left(1+a\right)+\left(1+a\right)\left(1+b\right)}{1+\left(1+a\right)+\left(1+a\right)\left(1+b\right)}=1\)
4a) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\times\frac{y}{x}}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y > 0
Bài 1:
a/ \(\left\{{}\begin{matrix}4=-a+b\\-3=2a+b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{7}{3}\\b=\frac{5}{3}\end{matrix}\right.\)
b/ Do d song song với \(y=2x+3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b\ne3\end{matrix}\right.\)
\(3=-5.2+b\Rightarrow b=13\)
c/ Do d vuông góc \(y=-\frac{2}{3}x-5\Rightarrow-\frac{2}{3}.a=-1\Rightarrow a=\frac{3}{2}\)
\(-1=\frac{3}{2}.4+b\Rightarrow b=-7\)
d/ \(b=2\Rightarrow y=ax+2\)
d cắt \(y=x-1\) tại điểm có hoành độ 1 \(\Rightarrow d\) đi qua điểm A(1;0)
\(\Rightarrow0=a+2\Rightarrow a=-2\)
e/ Thay 2 hoành độ vào pt (P) ta được \(\left\{{}\begin{matrix}A\left(2;-4\right)\\B\left(1;-1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4=2a+b\\-1=a+b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\b=2\end{matrix}\right.\)
f/ \(a=2\)
Thay tung độ y=1 vào pt đường thẳng được \(A\left(2;1\right)\)
\(\Rightarrow1=2.2+b\Rightarrow b=-3\)
Bài 2:
\(y=mx-2m-1\Rightarrow\left(x-2\right).m-\left(y+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(2;-1\right)\)
\(y=mx+m-1\Rightarrow\left(x+1\right).m-\left(y+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-1;-1\right)\)
\(y=\left(m+1\right)x+2m-3\Rightarrow y=\left(m+1\right)x+2\left(m+1\right)-5\)
\(\Rightarrow\left(m+1\right)\left(x+2\right)-\left(y+5\right)=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2=0\\y+5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-5\end{matrix}\right.\)
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)
Ta có:
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{6a-b-c-2}{8}\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}\ge\frac{6b-c-a-2}{8}\\\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{6c-a-b-2}{8}\end{cases}}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{6a-b-c-2}{8}+\frac{6b-c-a-2}{8}+\frac{6c-a-b-2}{8}\)
\(=\frac{a+b+c}{2}-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}.\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)
Bài 1:
ĐK: \(x\geq 0; x\neq 16\)
\(B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+4}+\frac{5\sqrt{x}+12}{x-16}=\frac{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-4)}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)}+\frac{5\sqrt{x}+12}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)}\)
\(=\frac{x+4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+4)}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-4}\)
\(\Rightarrow \frac{A}{B}=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-4}:\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-4}=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}=1+\frac{3}{\sqrt{x}}\)
Do đó: \(\frac{A}{B}=m+1\Leftrightarrow 1+\frac{3}{\sqrt{x}}=m+1\Leftrightarrow m=\frac{3}{\sqrt{x}}\)
Để pt \(\frac{A}{B}=m+1\) có nghiệm thì pt \(m=\frac{3}{\sqrt{x}}\) phải có nghiệm
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>0\\ m\neq \frac{3}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}\end{matrix}\right.\)
Bài 2:
a_
PT hoành độ giao điểm:
\(\frac{1}{2}x^2-(m-1)x-m=0(*)\)
(d) cắt (P) tại điểm có hoành độ $-2$ khi PT $(*)$ có nghiệm $x=-2$
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}(-2)^2-(m-1)(-2)-m=0\)
\(\Leftrightarrow 2+2(m-1)-m=0\Leftrightarrow m=0\)
b)
Để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ thì pt $(*)$ phải có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$
\(\Leftrightarrow \Delta=(m-1)^2+2m>0\Leftrightarrow m^2+1>0\)
\(\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}\)
Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{m-1}{2}\\ x_1x_2=\frac{-m}{2}\end{matrix}\right.\)
Để \(x_1< 2< x_2\Leftrightarrow (x_1-2)(x_2-2)< 0\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2-2(x_1+x_2)+4< 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{-m}{2}-(m-1)+4< 0\)
\(\Leftrightarrow m> \frac{10}{3}\)
Vậy......