\(a^2+b^2+ab\) chia hết cho 10 . Chứng minh rằng 
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

14 tháng 10 2020

1. Gọi ƯCLN (a,c) =k, ta có : a=ka1, c=kc1 và (a1,c1)=1

Thay vào ab=cd được ka1b=bc1d nên

a1b=c1d  (1)

Ta có: a1\(⋮\)c1 mà (a1,c1)=1 nên b\(⋮\)c1. Đặt b=c1m ( \(m\in N\)*) , thay vào (1) được a1c1m =  c1d nên a1m=d

Do đó: \(a^5+b^5+c^5+d^5=k^5a_1^5+c_1^5m^5+k^5c_1^5+a_1^5m^5\)

\(=k^5\left(a_1^5+c_1^5\right)+m^5\left(a_1^5+c_1^5\right)=\left(a_1^5+c_1^5\right)\left(k^5+m^5\right)\)

Do a1, c1, k, m là các số nguyên dương nên \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số (đpcm)

14 tháng 10 2020

2. Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể sư 0 hoặc 1.

Ta có \(a^2+b^2⋮3\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1,1+1, chỉ có 0+0 \(⋮\)3.

Vậy \(a^2+b^2⋮3\)thì a và b \(⋮3\)

b) Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 7 chỉ có thể dư 0,1,2,4 (thật vậy, xét a lần lượt bằng 7k, \(7k\pm1,7k\pm2,7k\pm3\)thì a2 chia cho 7 thứ tự dư 0,1,4,2)

Ta có: \(a^2+b^2⋮7\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1, 0+2, 0+4 , 1+1, 1+2, 2+2, 1+4, 2+4, 4+4; chỉ có 0+0 \(⋮7\). Vậy......

3 tháng 6 2018

b, vì a và b là 2 stn liên tiếp nên a=b+1 hoặc b=a+1

cho b=a+1

\(A=a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+a^2b^2=a^2+\left(a+1\right)^2+a^2\left(a+1\right)^2\)

\(=a^2+\left(a+1\right)^2\left(a^2+1\right)=a^2+\left(a^2+2a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

\(=a^2+2a\left(a^2+1\right)+\left(a^2+1\right)^2=\left(a^2+a+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{A}=\sqrt{\left(a^2+a+1\right)^2}=a^2+a+1=a\left(a+1\right)+1=ab+1\)

vì a b là 2 stn liên tiếp nên sẽ có 1 số chẵn\(\Rightarrow ab\)chẵn \(\Rightarrow ab+1\)lẻ \(\Rightarrow\sqrt{A}\)lẻ (đpcm)

4 tháng 6 2018

Làm cả câu a đi nhé! Nếu bạn làm được cả câu a thì mình k!  ^_^  *_*

5 tháng 11 2017

khó quá

27 tháng 3 2018

dễ mà cô nương

\(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

\(\left(a^2+ab+b^2\right)=\left\{\left(a+b\right)^2-ab\right\}\)

\(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(25-6\right)=19\left(a-b\right)\)

ta có 

\(a=-5-b\)

suy ra

\(a^3-b^3=19\left(-5-2b\right)\) " xong "

2, trên mạng đầy

3, dytt mọe mày ngu ab=6 thì cmm nó phải chia hết cho 6 chứ :)

4 . \(x^2-\frac{2.1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}>0\) tự làm dcmm

5. trên mạng đầy

6 , trên mang jđầy 

6 tháng 5 2018

Đặt \(k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}\)\(\left(k\inℤ\right)\)

Giả sử k không là số chính phương 

Cố định số nguyên dương k,sẽ tồn tại cặp (a,b) . Ta kí hiệu 

\(S=\left(\left(a,b\right)\in N\times N|\frac{a^2+b^2}{ab+1}=k\right)\)

Theo nguyên lí cực hạn thì các cặp thuộc S tồn tại (a,b) sao cho a+b đạt min

Giả sử \(a\ge b>0\)cố định b ta còn số nữa khác a theo phương trình \(k=\frac{x+b^2}{xb+1}\)

\(\Leftrightarrow x^2-kbx+b^2-k=0\)phương trình có nghiệm a

Theo \(VIET:\hept{\begin{cases}a+x_2=kb\\a.x_2=b^2-k\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x_2=kb-a=\frac{b^2-k}{a}\)

Dễ thấy x2 nguyên

Nếu x2<0 thì \(x_2^2-kbx_2+b^2-k\ge x^2_2+k+b^2-k>0\)(vô lí)   \(\Rightarrow x_2\ge0\)do đó \(\left(x_2,b\right)\in S\)

Do \(a\ge b>0\Rightarrow x_2=\frac{b^2-k}{a}< \frac{a^2-k}{a}< a\)

\(\Rightarrow x_2+b< a+b\)(trái với a+b đạt min)

=> k là số chính phương (đpcm)

Xong rồi đấy,bạn tinck cho mình với nhé 

3 tháng 9 2018

a,  11n+2+122n+1

= 11n.121+12.122n

= 11n.(133-12)+12.122n

= 11n.133-11nn .12+12.122n

=12.(144n-11n)+11n. 133

Có 144nn-11n \(⋮\)144-11=133

11n.133\(⋮\)133

=> dpcm

22 tháng 5 2016

Câu 2 nè:

Ta có:2006 = 2.17.59

Để q chia hết cho 2006 thì n(n+1)...(n+9) chia hết cho 2006

Với n<50 thì n, (n+1), ... (n+9) < 59 nên ko thoả mãn.

Với n=50: thì n+1 = 51 chia hết cho 17; n+9=59 chia hết cho 59

suy ra n(n+1)...(n+9) chia hết cho 2006

* Ta sẽ chứng minh n=50 là số tự nhiên nhỏ nhất thoả mãn.

- Đặt S = \(\frac{1}{50}+\frac{1}{51}+...+\frac{1}{59}\)

\(\frac{1}{50}+\frac{1}{51}+...+\frac{1}{58}=\frac{A}{B}\)(trong đó B ko chia hết 59)

\(\Rightarrow S=\frac{A}{B}+\frac{1}{59}=\frac{\left(59A+B\right)}{59B}=\frac{p}{q}\)

hay (59A + B)q = 59Bp hay Bq = 59(Bp - Aq)

Do B ko chia hết 59 suy ra q chia hết 59.

- Đặt \(\frac{1}{50}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{58}=\frac{C}{D}\) ta cũng có D ko chia hết cho 17

Chứng minh tương tự suy ra q chia hết cho 59, 17, 2

=>đpcm

22 tháng 5 2016

nếu đề có thêm điều kiện n nhỏ nhất thì làm như vậy còn ko thì chỉ chép đến chỗ dấu       "'*"  thui