Question

[Tiên Nguyễn Thủy]

cho hai số thực x,y thỏa mãn điều kiện 0<x<=1; 0<y<=1 và x+y=4xy. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P=x^2+y^2-xy

Answer 1

[Đinh quang hiệp]

\(x+y=4xy\Rightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow4>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow x+y>=1\)(bđt svacxo)

\(x^2+y^2>=\frac{\left(x+y\right)^2}{2};xy< =\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow P=x^2+y^2-xy>=\frac{\left(x+y\right)^2}{2}-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^2}{4}>=\frac{1^2}{4}=\frac{1}{4}\)

dấu = xảy ra khi \(x+y=1;x=y\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\left(tm\right)\)

vậy min P là \(\frac{1}{4}\)khi x=y=\(\frac{1}{2}\)