Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Em mới tìm được Min thôi ạ, Max =\(2\sqrt{2}+4\)nhưng chưa biết cách giải , mọi người giúp với ạ
áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số ta có:
\(a^3+b^3+1\ge3\sqrt[3]{a^3b^3.1}=3ab\)
\(\Rightarrow M=\frac{a^3+b^3+4}{ab+1}=\frac{\left(a^3+b^3+1\right)+3}{ab+1}\ge\frac{3ab+3}{ab+1}=3\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của M=3 khi \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=2\\a^3=b^3=1\end{cases}\Rightarrow}a=b=1\)
\(0\le a\le\sqrt{2}\Rightarrow a\left(a-\sqrt{2}\right)\le0\Rightarrow a^2\le a\sqrt{2}\Rightarrow a^3\le a^2\sqrt{2}\)
Tương tự và cộng lại: \(a^3+b^3\le\sqrt{2}\left(a^2+b^2\right)=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow M\le\frac{2\sqrt{2}+4}{ab+1}\le\frac{2\sqrt{2}+4}{1}=2\sqrt{2}+4\) (do \(ab\ge0\Rightarrow ab+1\ge1\))
Dấu "=" khi \(\left(a;b\right)=\left(0;\sqrt{2}\right);\left(\sqrt{2};0\right)\)
Ta có: \(a^2+b^2=4\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=4+2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=4+2ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4=2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)=2ab\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)}{2}=ab\)
\(M=\frac{ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)}{2\left(a+b+2\right)}=\frac{a+b-2}{2}\)
\(\Leftrightarrow M=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1\). Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxoopki cho 2 số a/2 và b/2 ta có:
\(\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le\frac{1}{2}.4=2\)( do \(a^2+b^2=4\))
\(\Rightarrow\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\le\sqrt{2}\Leftrightarrow\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Vậy GTLN của biểu thức \(M=\frac{ab}{a+b+2}\)là \(\sqrt{2}-1\).
Ta có : \(\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2ab=4+2ab\)
\(\Rightarrow a+b=\sqrt{4+2ab}\)
Khi đó \(M=\frac{ab}{\sqrt{4+2ab}+2}\)
Dễ thấy \(\sqrt{4+2ab}>2\)nên có thể nhân liên hợp
\(M=\frac{ab}{\sqrt{4+2ab}+2}=\frac{ab\left(\sqrt{4+2ab}-2\right)}{\left(\sqrt{4+2ab}+2\right)\left(\sqrt{4+2ab}-b\right)}\)
\(=\frac{ab\left(\sqrt{4+2ab}-2\right)}{4+2ab-4}\)
\(=\frac{ab\left(\sqrt{4+2ab}-2\right)}{2ab}\)
\(=\frac{\sqrt{4+2ab}-2}{2}\le\frac{\sqrt{4+a^2+b^2}-2}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{4+4}-2}{2}=\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" tại \(a=b=\sqrt{2}\)
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Cho $a, b \geq 0$ thỏa mãn $a + b + 2ab = 4$.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
$$
P = a^3 + b^3
$$
---
### Bước 1: Phân tích điều kiện
Điều kiện cho $a,b \geq 0$:
$$
a + b + 2ab = 4
$$
---
### Bước 2: Sử dụng biến mới
Đặt $S = a + b$, $P = ab$ (lưu ý, P ở đây khác biểu thức cần tìm, ta tạm dùng $Q = ab$ để tránh nhầm lẫn).
Điều kiện:
$$
S + 2Q = 4 \implies Q = \frac{4 - S}{2}
$$
---
### Bước 3: Viết $a^3 + b^3$ theo $S, Q$
Ta có công thức:
$$
a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = S^3 - 3Q S
$$
Thay $Q = \frac{4 - S}{2}$:
$$
a^3 + b^3 = S^3 - 3 \cdot \frac{4 - S}{2} \cdot S = S^3 - \frac{3S(4 - S)}{2} = S^3 - \frac{12S - 3S^2}{2}
$$
$$
= S^3 - 6S + \frac{3S^2}{2} = S^3 + \frac{3}{2}S^2 - 6S
$$
---
### Bước 4: Xác định miền giá trị của $S$
Vì $a,b \geq 0$, với $a,b$ là nghiệm của phương trình
$$
x^2 - Sx + Q = 0 \implies x^2 - Sx + \frac{4 - S}{2} = 0
$$
Phương trình có nghiệm thực không âm khi:
* $\Delta = S^2 - 4Q \geq 0$
* $a,b \geq 0$
Tính $\Delta$:
$$
\Delta = S^2 - 4 \cdot \frac{4 - S}{2} = S^2 - 2(4 - S) = S^2 - 8 + 2S = S^2 + 2S - 8
$$
Điều kiện $\Delta \geq 0$:
$$
S^2 + 2S - 8 \geq 0 \implies (S+4)(S-2) \geq 0
$$
Vì $a,b \geq 0 \implies S = a + b \geq 0$, nên ta lấy:
$$
S \geq 2
$$
Ngoài ra, $S$ còn phải thỏa điều kiện $Q = \frac{4-S}{2} \geq 0$ (vì $Q = ab \geq 0$):
$$
\frac{4 - S}{2} \geq 0 \implies S \leq 4
$$
---
### Vậy miền $S$ là:
$$
2 \leq S \leq 4
$$
---
### Bước 5: Tìm cực trị của $P(S) = S^3 + \frac{3}{2} S^2 - 6S$ trên đoạn $[2,4]$
Tính đạo hàm:
$$
P'(S) = 3S^2 + 3S - 6 = 3(S^2 + S - 2) = 3(S+2)(S-1)
$$
* $P'(S) = 0$ tại $S = -2$ (loại vì ngoài miền) và $S = 1$ (cũng ngoài miền).
Với $S \in [2,4]$, đạo hàm luôn dương vì:
* $S-1 > 0$
* $S+2 > 0$
Vậy $P(S)$ là hàm đồng biến trên $[2,4]$.
---
### Bước 6: Tính $P$ tại các điểm biên
* Tại $S=2$:
$$
P(2) = 2^3 + \frac{3}{2} \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 = 8 + \frac{3}{2} \cdot 4 - 12 = 8 + 6 - 12 = 2
$$
* Tại $S=4$:
$$
P(4) = 4^3 + \frac{3}{2} \cdot 4^2 - 6 \cdot 4 = 64 + \frac{3}{2} \cdot 16 - 24 = 64 + 24 - 24 = 64
$$
---
### Bước 7: Kết luận
* Giá trị nhỏ nhất của $a^3 + b^3$ là $2$, đạt khi $S = 2$.
* Giá trị lớn nhất của $a^3 + b^3$ là $64$, đạt khi $S = 4$.
---
### Bước 8: Tìm cặp $(a,b)$ tương ứng
* Với $S=2$, $Q = \frac{4 - 2}{2} = 1$, phương trình:
$$
x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0
$$
Vậy $a = b = 1$.
Giá trị nhỏ nhất $P = 1^3 + 1^3 = 2$.
* Với $S=4$, $Q = \frac{4 - 4}{2} = 0$, phương trình:
$$
x^2 - 4x + 0 = 0 \implies x(x - 4) = 0
$$
Vậy $a=0, b=4$ hoặc ngược lại.
Giá trị lớn nhất $P = 0^3 + 4^3 = 64$.
---
## **Kết quả:**
$$
\boxed{
\begin{cases}
\text{Giá trị nhỏ nhất của } a^3 + b^3 = 2, \text{ khi } a = b = 1 \\
\text{Giá trị lớn nhất của } a^3 + b^3 = 64, \text{ khi } (a,b) = (0,4) \text{ hoặc } (4,0)
\end{cases}
}
$$
\(2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{2}{\sqrt{ab}}\le2\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{ab}\le1\)
\(Q=\frac{1}{4}\left(\frac{4}{\left(a^2+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b^2\right)^2}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2}\right)=\frac{1}{4ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\le\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=1\)
...
Hằng đẳng thức sai rồi nha Quân eii , nhìn lại cái bậc của ẩn a,b ở 2 mẫu số đi -__