Question

[Hày Cưi]

Cho hai số thực a,b khác 0 thõa mãn \(2a^2+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{1}{a^2}=4\)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=ab+2019

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:

\(4=2a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}=a^2+a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}\geq 4\sqrt[4]{a^2.a^2.\frac{b^2}{4}.\frac{1}{a^2}}\)

\(\Rightarrow 1\geq \frac{a^2b^2}{4}\Rightarrow a^2b^2\leq 4\Rightarrow -2\leq ab\leq 2\)

Do đó:

\(-2+2019\leq ab+2019\leq 2+2019\Leftrightarrow 2017\leq S\leq 2021\)

Vậy \(S_{\min}=2017\Leftrightarrow (a,b)=(1;-2)\) hoặc \((-1;2)\)

\(S_{\max}=2021\Leftrightarrow (a,b)=(1;2)\) hoặc \((-1;-2)\)