Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Đặt A = x2+y2+z2
B = xy+yz+xz
C = 1/x + 1/y + 1/z
Lại có (x+y+z)2=9
A + 2B = 9
Dễ chứng minh A>=B
Ta thấy 3A>=A+2B=9 nên A>=3 (khi và chỉ khi x=y=z=1)
Vì x+y+z=3 => (x+y+z) /3 =1
C = (x+y+z) /3x + (x+y+x) /3y + (x+y+z)/3z
C = 1/3[3+(x/y+y/x) +(y/z+z/y) +(x/z+z/x)
Áp dụng bất đẳng thức (a/b+b/a) >=2
=> C >=3 ( khi và chỉ khi x=y=z=1)
P =2A+C >= 2.3+3=9 ( khi và chỉ khi x=y=x=1
Vậy ...........
Câu 2 chưa ra thông cảm
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{2xy}\\ =\frac{1}{4}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=2
\(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{2x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{7x}{4y}+\left(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}-2\right)\)
Áp dụng BĐT Cô - Si cho các số dương :
\(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{4y}.\frac{y}{x}}=1\)
\(\frac{7x}{4y}\ge\frac{7.2y}{4y}=\frac{7}{2}\) do \(x\ge2y\)
Do đó : \(P\ge\frac{7}{2}+1-2=\frac{5}{2}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{5}{2}\) khi x\(=2y\)
Chúc bạn học tốt !!!
Bài 2 bạn tham khảo cách làm của cô Linh Chi tại đây nhé :
Câu hỏi của nguyen trung nghia - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Học tốt và cá tháng tư đừng để bị troll nha !!!!!!!!!!!
B1:
\(M=\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
\(=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
Nhờ dự đoán được điểm rơi,ta chứng minh bất đẳng thức sau luôn đúng:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le\frac{5}{2}\)
Thật vậy !!!
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y}{x}-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x-y}{2y}+\frac{y-2x}{x}\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x^2-xy+2y^2-4xy}{2xy}\le0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-5xy+2y^2\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(2x-y\right)\le0\) ( đúng )
Dấu "=" xảy ra tại \(x=1;y=2\)
Vậy \(M_{max}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow x=1;y=2\)
Cho x,y là các số dương thỏa mãn xy=1 .Tìm GTNN của biểu thức B=\(\frac{1}{x^2}\)+\(\frac{1}{9y^2}\)
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{9y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{9y^2}}=\frac{2}{3xy}=\frac{2}{3}\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2}=\frac{1}{9y^2}\\xy=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\sqrt{3}\\y=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{cases}}\).
Dự đoán dấu "=" khi x = 2 ; y= 1
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số và bđt \(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\) ta được
\(P=2x^2+y^2+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}\)
\(=\left(\frac{7x^2}{4}+\frac{14}{x}+\frac{14}{x}\right)+\left(\frac{y^2}{2}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}\right)+\left(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}\right)\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{7x^2.14.14}{4.x^2}}+3\sqrt[3]{\frac{y^2.1.1}{2.2y.2y}}+\frac{\left(x+y\right)^2}{4+2}\)
\(=3.\sqrt[3]{\frac{7.14.14}{4}}+\frac{3}{\sqrt[3]{2^3}}+\frac{3^2}{6}=24\)
Dấu "=" khi x = 2 ; y = 1
Bài toán easy!
\(P=\left(2x^2+8\right)+\left(y^2+1\right)+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}-9\)
Áp dụng BĐT AM-GM,ta có:
\(P\ge8x+2y+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}-9\)
\(=\left(7x+\frac{28}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)+\left(x+y\right)-9\)
\(\ge2\sqrt{7x.\frac{28}{x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{y}}+\left(x+y\right)-9\)
\(\ge28+2+3-9=24\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}2x^2=8\\y^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)
Vậy \(P_{min}=24\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111+11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111-2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=?
By Titu's Lemma we easy have:
\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{17}{4}\)
Mk xin b2 nha!
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)
_xin hỏi bài này có cần dùng bất đẳng thức Bunhiacopski không?
. Bài này mình dùng AM-GM :))