Question

[nguyễn công quốc bảo]

Cho hai đường trong (O; R) và (O; r ) với R > r. Điểm M ngoài (O; R). Qua M vẽ hai tiếp tuyến với (O; r), một cắt (O ; R) tại A và B ( A nằm giữa M và B) ; một cắt (O; R) tại C và D (C nằm giữa D và M). CM: hai cung AB và CD bằng nhau

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Gọi giao điểm của MB với (O;r) là H, giao điểm của MD với (O;r) là K

Theo đề, ta có: OH\(\perp\)MB tại H và OK\(\perp\)MD tại K

Xét (O) có

OH,OK là khoảng cách từ tâm O đến cách dây AB,CD

AB,CD là các dây

OH=OK(=r)

Do đó: AB=CD

ΔOAB cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của AB

=>HA=HB=AB/2

Ta có: ΔOCD cân tại O

mà OK là đường cao

nên K là trung điểm của CD

=>\(CK=KD=\dfrac{CD}{2}\)

mà CD=AB và \(HA=HB=\dfrac{AB}{2}\)

nên CK=KD=HA=HB

Xét ΔOHM vuông tại H và ΔOKM vuông tại K có

OH=OK

OM chung

Do đó: ΔOHM=ΔOKM

=>MH=MK

Ta có: MA+AH=MH

MC+CK=MK

mà AH=CK và MH=MK

nên MA=MC

Xét ΔMBD có \(\dfrac{MA}{AB}=\dfrac{MC}{CD}\)

nên AC//BD

=>\(sđ\stackrel\frown{AB}=sđ\stackrel\frown{CD}\)