Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Thay tọa độ P, Q vào phương trình \(\Delta\) ta được 2 giá trị cùng dấu \(\Rightarrow\) P, Q nằm cùng phía so với \(\Delta\)
Gọi A là điểm đối xứng với \(P\) qua \(\Delta\Rightarrow AM=PM\)
\(\Rightarrow MP+MQ=AM+MQ\ge AQ\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A, M, Q thẳng hàng hay M là giao điểm AQ và \(\Delta\)
Phương trình đường thẳng d qua P và vuông góc \(\Delta\) có dạng:
\(1\left(x-1\right)+2\left(y-6\right)=0\Leftrightarrow x+2y-13=0\)
Tọa độ giao điểm H giữa d và \(\Delta\) là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y-1=0\\x+2y-13=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(3;5\right)\)
A đối xứng P qua \(\Delta\) khi và chỉ khi H là trung điểm AP \(\Rightarrow A\left(5;4\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{QA}=\left(8;8\right)=8\left(1;1\right)\Rightarrow\) đường thẳng AQ nhận (1;-1) là 1 vtpt
Phương trình AQ:
\(1\left(x+3\right)-1\left(y+4\right)=0\Leftrightarrow x-y-1=0\)
Tọa độ M là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-1=0\\2x-y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(0;-1\right)\)
Xét vị trí của hai điểm P, Q, ta có:
\(\left(2.6-1-1\right)\left(-3.2+2-1\right)< 0\)
\(\Rightarrow P,Q\) khác phía so với \(\Delta\)
Phương trình đường thẳng PQ: \(\dfrac{x+3}{-3-6}=\dfrac{y+2}{-2-1}\Leftrightarrow x-3y-3=0\)
\(MP+MQ\) nhỏ nhất khi M, P, Q thẳng hàng hay M là giao điểm của PQ với \(\Delta\):
\(\Rightarrow M\) có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y-1=0\\x-3y-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(0;-1\right)\)
Thay tọa độ P và Q vào pt \(\Delta\) ta được 2 giá trị cùng dấu \(\Rightarrow\) P, Q nằm cùng phía so với \(\Delta\)
Gọi N là 1 điểm thuộc delta, áp dụng BĐT tam giác: \(\left|NP-NQ\right|\le PQ\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi N, P, Q thẳng hàng hay N là giao điểm của PQ và delta
\(\overrightarrow{PQ}=\left(-4;-10\right)=-2\left(2;5\right)\Rightarrow\) đường thẳng PQ nhận (5;-2) là 1 vtpt
Phương trình PQ:
\(5\left(x-1\right)-2\left(y-6\right)=0\Leftrightarrow5x-2y+7=0\)
Tọa độ N là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}5x-2y+7=0\\2x-y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow N\left(-9;-19\right)\)
Thay tọa độ P; Q vào pt delta được 2 giá trị trái dấu
\(\Rightarrow P;Q\) nằm về 2 phía so với delta
\(\Rightarrow MP+MQ\le PQ\)
Dấu "=" xảy ra M;P;Q thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng PQ và delta
\(\overrightarrow{PQ}=\left(-9;-3\right)\Rightarrow\) đường thẳng PQ nhận (1;-3) là 1 vtpt
Phương trình PQ:
\(1\left(x-6\right)-3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-3y-3=0\)
Tọa độ M là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y-1=0\\x-3y-3=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow M\left(0;-1\right)\)
Thay tọa độ P và Q vào phương trình d ta thấy ra hai kết quả cùng dấu, vậy P và Q nằm cùng phía so với d
Áp dụng BĐT tam giác cho tam giác NPQ, ta có
\(\left|NP-NQ\right|\le PQ\Rightarrow\left|NP-NQ\right|_{max}=PQ\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi N, P, Q thẳng hàng hay N là giao điểm của đường thẳng PQ và d
\(\overrightarrow{PQ}=\left(4;10\right)=2\left(2;5\right)\Rightarrow\) đường thẳng PQ nhận \(\overrightarrow{n}=\left(5;-2\right)\) là 1 vtpt
Phương trình PQ:
\(5\left(x-1\right)-2\left(y-6\right)=0\Leftrightarrow5x-2y+7=0\)
Tọa độ N là nghiệm của hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}5x-2y+7=0\\2x-y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow N\left(-9;-19\right)\)
Do M thuộc d nên tọa độ có dạng: \(\left(2m+2;m\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(-2m-2;1-m\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(1-2m;4-m\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\left(-6m;9-3m\right)\)
\(\Rightarrow T=\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|=\sqrt{36m^2+\left(9-3m\right)^2}=\sqrt{45m^2-54m+81}\)
\(=\sqrt{25\left(m-\dfrac{3}{5}\right)^2+\dfrac{324}{5}}\ge\sqrt{\dfrac{324}{5}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=\dfrac{3}{5}\Rightarrow M\left(\dfrac{16}{5};\dfrac{3}{5}\right)\)