Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
Nếu \(m=0\), \(f\left(x\right)=2x\)
\(\Rightarrow m=0\) không thỏa mãn
Nếu \(x\ne0\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2-4m^2< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{3}\)
\(f\left(x\right)=\left(m-4\right)x^2+\left(m+1\right)x+2m-1\)
\(f\left(x\right)< 0,\forall x\in R\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a< 0\\\Delta< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-4< 0\\\left(m+1\right)^2-4\left(m-4\right)\left(2m-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\m^2+2m+1-4\left(2m^2-m-8m+4\right)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m^2+2m+1-8m^2+36m-16< 0\)
\(\Leftrightarrow-7m^2+38m-15< 0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{3}{7}\\m>5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(KL:m\in\left(5;+\infty\right)\)
- Với \(m=0\Rightarrow f\left(x\right)=-4x-5>0\) khi \(x< -\dfrac{5}{4}\) (ktm)
- Với \(m\ne0\Rightarrow f\left(x\right)< 0;\forall x\) khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta'=4\left(m+1\right)^2-m\left(m-5\right)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\3m^2+13m+4< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\-4< m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow-4< m< -\dfrac{1}{3}\)
Lời giải:
Ta có:
\(f(x)=(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+1\)
\(f(x)=[(x+2)(x+5)][(x+3)(x+4)]+1\)
\(f(x)=(x^2+7x+10)(x^2+7x+12)+1\)
Đặt \(x^2+7x+10=a\). Khi đó:
\(f(x)=a(a+2)+1=a^2+2a+1=(a+1)^2\)
\(=(x^2+7x+11)^2\) là một số chính phương.
Vậy $f(x)$ luôn là số chính phương với mọi $x$ nguyên.