Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phần a)
Sử dụng bổ đề \(x^{mn}-1\vdots x^m-1\) với mọi \(m,n \in\mathbb{N}\)
Chứng minh bổ đề:
Thật vậy, theo hằng đẳng thức đáng nhớ:
\(x^{mn}-1=(x^m)^n-1^n=(x^m-1)[(x^m)^{n-1}+(x^m)^{n-2}+...+x^m+1]\vdots x^m-1\)
Bổ đề đc chứng minh.
-----------------------------------
Ta có:
\(x^{400}+x^{200}+1=x^{396}.x^4+x^{198}.x^2+1\)
\(=x^4(x^{396}-1)+x^2(x^{198}-1)+(x^4+x^2+1)\)
Áp dụng bổ đề trên vào bài toán kết hợp với \(x^6-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1)\vdots x^4+x^2+1\) ta suy ra:
\(x^{396}-1=x^{6.66}-1\vdots x^6-1\vdots x^4+x^2+1\)
\(x^{198}-1=x^{6.33}-1\vdots x^6-1\vdots x^4+x^2+1\)
\(x^4+x^2+1\vdots x^4+x^2+1\) (hiển nhiên)
Do đó: \(x^{400}+x^{200}+1\vdots x^4+x^2+1\)
(đpcm)
Phần b)
\(F(x)=x^{1970}+x^{1930}+x^{1890}=x^{1890}(x^{80}+x^{40}+1)\)
Thấy rằng:
\(x^{80}+x^{40}+1=(x^{40}+1)^2-x^{40}=(x^{40}+1)^2-(x^{20})^2\)
\(=(x^{40}+1-x^{20})(x^{40}+1+x^{20})\)
Mà: \(x^{40}+1+x^{20}=(x^{20}+1)^2-x^{20}=(x^{20}+1)^2-(x^{10})^2\)
\(=(x^{20}+1-x^{10})(x^{20}+1+x^{10})\vdots x^{20}+x^{10}+1\)
Do đó:
\(x^{80}+x^{40}+1\vdots x^{20}+x^{10}+1\)
1) Từ \(x+y+z=6\) và \(x^2+y^2+z^2=12\)ta dễ dàng suy ra \(xy+yz+zx=12\)
Như vậy \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\) \(\Leftrightarrow x=y=z\)
Mà \(x+y+z=6\)nên \(x=y=z=2\)thay vào Q ta tính được Q = 3.
Bài dưới mình có làm ra được 2 cách, bạn hiểu cách nào thì làm
Cách 1: Dùng phương pháp quy nạp (cách này mình cũng không biết được sử dụng trong trg hợp này ko)
-Với n=1 thì \(2^{2n}\left(2^{2n+1}-1\right)-1=2^2\left(2^3-1\right)-1=4.8-1=27\)chia hết cho 9
Vậy mệnh đề đúng với n=1
-Giả sử tồn tại số k sao cho \(2^{2k}\left(2^{2k+1}-1\right)-1\) chia hết cho 9 (giả thiết quy nạp). Do đó, \(2^{2k}\left(2^{2k+1}-1\right)\)chia 9 dư 1
Ta phải cm mệnh đề cũng đúng với k+1:
Thật vậy, \(2^{2\left(k+1\right)}\left(2^{2\left(k+1\right)+1}-1\right)-1=2^{2k+2}\left(2^{2k+3}-1\right)-1=2^{2k+4}\left(2^{2k+1}-\frac{1}{4}\right)-1\)
<=> \(2^{2k+4}\left(2^{2k+1}-1\right)+\frac{3}{4}\left(2^{2k+4}\right)-1=2^{2k}.16.\left(2^{2k+1}-1\right)+3.2^{2k+2}-1\)
Ta thấy:
\(2^{2k}\left(2^{2k+1}-1\right)\)chia 9 dư 1. Do đó, \(2^{2k}.16.\left(2^{2k+1}-1\right)\)chia 9 dư 7.
Các số có cơ số =2, số mũ lẻ thì tích của số đó với 3 khi chia 9 dư 6. Còn các số có cơ số =2, số mũ chẵn thì tích của số đó với 3 khi 9 dư 3. Vậy tích \(3.2^{2k+2}\) chia 9 dư 3
-1 chia 9 dư -1
Vậy \(2^{2k+4}\left(2^{2k+1}-1\right)+3.2^{2k+2}-1\)chia 9 dư 7+3-1=9 chia hết cho 9
Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi n thuộc Z