Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
Nhân 2 vế của BĐT với \(\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(3(a^2+b^2+c^2)(a+b)(b+c)(c+a)\ge(a+b+c)\left(Σ_{cyc}(a^2+b^2)(c+a)(c+b)\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ_{perms}a^2b\left(a-b\right)^2\ge0\) *đúng*
Câu 7: Từ gt suy ra \(f\) vừa đồng biến vừa nghịch biến nên \(f\) là hằng số, nghĩa là \(f\left(x\right)=1000\) với mọi \(x\). Vậy \(f\left(2015\right)=1000\).
Cũng có thể giải bằng cách thế trực tiếp: \(a+b\le2a+b,5a+b\ge6a+b\) nên \(a=0\).
Câu 9: \(f\left(x_0\right)=\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\) hoặc \(f\left(x_0\right)=-\sqrt{3}-\sqrt{5}\).
Tới đây ngồi giải pt.
\(x,y,z\ge1\)nên ta có bổ đề: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
ÁP dụng: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt[3]{xyz^4}}}\)
\(\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu = xảy ra \(x=y=z\)hoặc x=y,xz=1 và các hoán vị
trc giờ mấy bài này tui toàn quy đồng thôi, may có cách này =))
Trả lời:
a. Áp dụng BĐT Cô-si: x + y\(\ge\) \(2\sqrt{xy}\) (với x,y\(\ge\)0)
Ta có: a + b\(\ge\)\(2\sqrt{ab}\)
b+c\(\ge\)\(2\sqrt{bc}\)
c+a\(\ge\)\(2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\) (a+b)(b+c)(c+a) \(\ge\)\(8\sqrt{a^2b^2c^2}\)= 8abc (đpcm)
b. Áp dụng BĐT Cô-si: \(\sqrt{ab}\)\(\le\)\(\dfrac{a+b}{2}\) ( với a,b\(\ge\)0)
Ta có: \(\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\)\(\le\)\(\dfrac{3a+a+2b}{2}\)=\(\dfrac{4a+2b}{2}\)=2a+b
\(\Rightarrow\) \(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\)\(\le\)a(2a+b) = 2a2+ab
CMTT: \(b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\)\(\le\)b(2b+a) = 2b2+ab
\(\rightarrow\)\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\)+\(b\sqrt{3b\left(2b+a\right)}\)\(\le\) 2a2+ab+2b2+ab
= 2(a2+b2)+2ab =6(đpcm)
c. Áp dụng BĐT Cô-si với 3 số a+b; b+c;c+a
Ta có: (a+b)(b+c)(c+a)\(\le\)\(\left(\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{3}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\) 1 \(\le\) \(\dfrac{8}{27}\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\) (a+b+c)3 \(\ge\) \(\dfrac{8}{27}\)
\(\Leftrightarrow\) a+b+c \(\ge\) \(\dfrac{3}{2}\) (1)
Lại có: (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) -abc
\(\Leftrightarrow\) 1= (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc
\(\Leftrightarrow\) ab+bc+ca = \(\dfrac{1+abc}{a+b+c}\) (2)
Theo câu a. (a+b)(b+c)(c+a) \(\ge\) 8abc
\(\Leftrightarrow\) 1 \(\ge\) 8abc
\(\Leftrightarrow\) abc \(\le\)\(\dfrac{1}{8}\) (3)
Từ (1),(3) kết hợp với (2)
\(\Rightarrow\) ab+bc+ca \(\le\) \(\dfrac{1+\dfrac{1}{8}}{\dfrac{3}{2}}\) = \(\dfrac{3}{4}\) (đpcm)
\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c=>\hept{\begin{cases}f\left(1\right)=a+b+c\\f\left(0\right)=c\\f\left(-1\right)=a-b+c\end{cases}.}\)
xét các Th
Th1)a,b,c cùng dấu :
=>/a/+/b/+/c/=/a+b+c/=/f(x)/<=1
Th2)a khác dấu với b,c
=>/a/+/b/+/c/=/-a+b+c/=/2f(0)-f(-1)/=2/f(0)/+/f(-1)/<=3
th3)b khác dấu với a,c
=>/a/+/b/+/c/=/a-b+c/=/f(-1)/<=1
th4) c khác dấu với a,b
=>/a/+/b/+/c/=/a+b-c/=/f(1)-2f(0)/=/f(1)/+2/f(0)/<=3
vậy /a/+/b/+/c/<=3
dấu = xảy ra khi ...