Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(bdt\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a-b}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b-c}{c+d}+1\right)+\left(\frac{c-d}{d+a}+1\right)+\left(\frac{d-a}{a+b}+1\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{a+c}{d+a}+\frac{b+d}{a+b}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4\)(*)
Theo Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\ge\frac{4}{a+b+c+d};\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{4}{a+b+c+d}\)
Khi đó:\(\left(\cdot\right)\ge\left(a+c\right).\frac{4}{a+b+c+d}+\left(b+d\right).\frac{4}{a+b+c+d}=4\)
1.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si thôi:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" khi a = b
2.
Vì a,b,c là ba cạnh tam giác nên dễ thấy các mẫu số dương.
Áp dụng câu 1 ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
Cộng theo vế ta được:
\(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c hay tam giác đó đều.
a) \(ad=bc\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
b) \(ad=bc\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}\)
c) \(ad=bc\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
\(ad=bc\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}.\)
=> \(\frac{a^{2020}}{c^{2020}}=\frac{b^{2020}}{d^{2020}}=\frac{\left(a+b\right)^{2020}}{\left(b+d\right)^{2020}}\)
Xong lại áp dụng tính chất dãy tỉ số = nhau \(\frac{a^{2020}}{c^{2020}}=\frac{b^{2020}}{d^{2020}}=\frac{a^{2020}-b^{2020}}{c^{2020}-d^{2020}}.\)
Kết hợp lại là ra nhé
TH1 : \(a-b=c-d=0\)
\(\Rightarrow a=b;c=d\)
\(\Rightarrow a+c=b+d\)
TH2 :\(a-b\ne0;c-d\ne0\)
\(\frac{a-b}{b-c}=\frac{c-d}{d-a}\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(d-a\right)=\left(b-c\right)\left(c-d\right)\)
\(\Rightarrow ad-a^2-bd+ab=bc-bd-c^2+cd\)
\(\Rightarrow ad-a^2+ab=bc-c^2+cd\)
\(\Rightarrow a\left(d-a+b\right)=c\left(b-c+d\right)\)
Với \(d-a+b=b-c+d=0\)
\(\Rightarrow d-a+b-\left(d+b\right)=\left(b-c+d\right)-\left(d+b\right)\)
\(\Rightarrow a=c\)
Với \(d-a+b\ne0;b-c+d\ne0\)
\(\Rightarrow a=c\)
Vậy ...
Giải:
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk,c=dk\)
Ta có: \(\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^4=\left(\frac{bk-b}{dk-d}\right)^4=\left[\frac{b\left(k-1\right)}{d\left(k-1\right)}\right]^4=\left(\frac{b}{d}\right)^4\) (1)
\(\frac{a^4+b^4}{c^4+d^4}=\frac{\left(bk\right)^4+b^4}{\left(dk\right)^4+d^4}=\frac{b^4.k^4+b^4}{d^4.k^4+d^4}=\frac{b^4\left(k^4+1\right)}{d^4\left(k^4+1\right)}=\frac{b^4}{d^4}=\left(\frac{b}{d}\right)^4\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^4=\frac{a^4+b^4}{c^4+d^4}\left(đpcm\right)\)
Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a^4}{c^4}=\frac{b^4}{d^4}=\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^4\) (1)
Ta lại có:
\(\frac{a^4}{c^4}=\frac{b^4}{d^4}=\frac{a^4+b^4}{c^4+d^4}\) (2)
Từ (1);(2)\(\Rightarrow\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^4=\frac{a^4+b^4}{c^4+d^4}\)