Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(xy+yz+zx=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\)ta có: \(a,b,c>0;a+b+c=1\)do đó 0<a,b,c<1
\(P=\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+6\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+2\left(a+b+c\right)^2-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2+3\)
\(=\left(\frac{b^2}{a}-2b+a\right)+\left(\frac{c^2}{b}-2c+b\right)+\left(\frac{a^2}{c}-2a+c\right)-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2+3\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{a}+\frac{\left(b-c\right)^2}{b}+\frac{\left(c-a\right)^2}{c}-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2+3\)
\(=\frac{\left(1-a\right)\left(a-b\right)^2}{a}+\frac{\left(1-b\right)\left(b-c\right)^2}{b}+\frac{\left(1-c\right)\left(c-a\right)^2}{c}+3\ge3\)
Vậy GTNN của P=3
\(\frac{x}{x^2-yz+2013}+\frac{y}{y^2-zx+2013}+\frac{z}{z^2-xy+2013}\)
\(=\frac{1}{\frac{x^2-yz+2013}{x}}+\frac{1}{\frac{y^2-zx+2013}{y}}+\frac{1}{\frac{z^2-xy+2013}{z}}\)
\(=\frac{1}{x+3y+3z+\frac{2yz}{x}}+\frac{1}{y+3z+3x+\frac{2xz}{y}}+\frac{1}{z+3x+3y+\frac{2xy}{z}}\)
\(\ge\frac{9}{7\left(x+y+z\right)+2xyz\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}\ge\frac{9}{7\left(x+y+z\right)+2xyz\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)}=\)
\(=\frac{9}{7\left(x+y+z\right)+2xyz.\frac{1}{xyz}.\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{9\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{x+y+z}\)
Ta có đpcm
bó tay rùi bạn !!!! ~_~
65756578687696453724756545345363637635754754695622534434
\(ĐK:x,y,z\ne0\)
Đặt \(A=\frac{xy}{z^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{yz}{x^2}=\frac{xyz}{z^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{x^3}=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)\)
Dễ CM \(x+y+z=0\) thì \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
=>\(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\left(\frac{1}{x}\right)^3+\left(\frac{1}{y}\right)^3+\left(\frac{1}{z}\right)^3=\frac{3}{xyz}\)
Do đó \(A=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)
Cách 1 : áp dụng hđt a3 +b3 +c3 = 3abc nếu a+b+c = 0 . cách này thì bạn có thể chúng minh đc nhưng hơi dài.
Cách 2 : ta sử dụng trực tiếp
\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=0 =>\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)=\(\frac{-1}{z}\)=> (\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\))3 = \(\frac{-1}{z^3}\)=> \(\frac{1}{x^3}\)+\(\frac{1}{y^3}\)\(+3\frac{1}{xy}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)= \(\frac{-1}{z^3}\) ( áp dụng từ hđt quen thuộc \(\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)) => \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+3\frac{1}{xy}\left(\frac{-1}{z}\right)\)= \(\frac{-1}{z^3}\)(vì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)= 0)
chuyển vế ta có \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)( tương tự cách 1 nhưng cách 1 là ta áp dụng vào dạng tương tự)
Cũng từ 1 trong trong 2 cách này ta có đoạn sau giống nhau
\(\frac{xy}{z^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{yz}{x^2}=\frac{xyz}{z^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{x^3}=xyz\left(\frac{1}{z^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)
Bất đẳng thức bị ngược dấu rồi!
Ta có: \(x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)
Tương tự ta có: \(y+zx=\left(x+y\right)\left(y+z\right);z+xy=\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\)
\(\Rightarrow\text{Σ}_{cyc}\frac{x}{x+yz}=\frac{\text{Σ}_{cyc}\left[x\left(y+z\right)\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{2\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+xyz\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=2+\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\le2+\frac{2xyz}{8xyz}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
Đẳng thức xảy ra\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
Sorry nha mik mới học lớp 6 nên không giúp được bạn.
Chúc các bạn học thật giỏi !!!
Cảm ơn nhìu nhìu lắm...>.<