Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chứng minh các biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.
Từ đó suy ra f'(x)=0
a) f(x)=1⇒f′(x)=0f(x)=1⇒f′(x)=0 ;
b) f(x)=1⇒f′(x)=0f(x)=1⇒f′(x)=0 ;
c) f(x)=\(\frac{1}{4}\)(\(\sqrt{2}\)-\(\sqrt{6}\))=>f'(x)=0
d,f(x)=\(\frac{3}{2}\)=>f'(x)=0
\(f\left(-x\right)=\left|-sinx-cosx\right|-\left|-sinx+cosx\right|\)
\(=\left|sinx+cosx\right|-\left|sinx-cosx\right|=-f\left(x\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)+f\left(-x\right)=0\)
\(\Rightarrow T=f\left(-\pi\right)+f\left(\pi\right)+f\left(-\frac{\pi}{2}\right)+f\left(\frac{\pi}{2}\right)+...+f\left(-\frac{\pi}{n}\right)+f\left(\frac{\pi}{n}\right)+f\left(0\right)\)
\(=0+0+...+0+f\left(0\right)=f\left(0\right)\)
\(=1-1=0\)
a) f'(x) = - 3sinx + 4cosx + 5. Do đó
f'(x) = 0 <=> - 3sinx + 4cosx + 5 = 0 <=> 3sinx - 4cosx = 5
<=> sinx -
cosx = 1. (1)
Đặt cos φ = , (φ ∈
) => sin φ =
, ta có:
(1) <=> sinx.cos φ - cosx.sin φ = 1 <=> sin(x - φ) = 1
<=> x - φ = + k2π <=> x = φ +
+ k2π, k ∈ Z.
b) f'(x) = - cos(π + x) - sin = cosx + sin
.
f'(x) = 0 <=> cosx + sin = 0 <=> sin
= - cosx <=> sin
= sin
<=> =
+ k2π hoặc
= π - x +
+ k2π
<=> x = π - k4π hoặc x = π + k, (k ∈ Z).
a: \(-1< =cosx< =1\)
\(\Leftrightarrow-2< =2cosx< =2\)
\(\Leftrightarrow-5< =2cosx-3< =-1\)
\(f\left(x\right)_{min}=-5\) khi cos x=-1
hay \(x=\Pi+k2\Pi\)
\(f\left(x\right)_{max}=-1\) khi cos x=1
hay \(x=k2\Pi\)
b: \(-1< =sinx< =1\)
\(\Leftrightarrow-2< =2sinx< =2\)
\(\Leftrightarrow5< =2sinx+7< =9\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{5}< =\sqrt{2sinx+7}< =3\)
\(\Leftrightarrow3\sqrt{5}< =3\sqrt{2sinx+7}< =9\)
\(f\left(x\right)_{min}=3\sqrt{5}\) khi sin x=-1
hay \(x=-\dfrac{\Pi}{2}+k2\Pi\)
\(f\left(x\right)_{max}=9\) khi sin x=1
hay \(x=\dfrac{\Pi}{2}+k2\Pi\)
Ta có \(f\left(x\right)=\sin ax\)
\(f'\left(x\right)=a\cos ax=a\sin\left(ax+\frac{\pi}{2}\right)\)
\(f''\left(x\right)=a^2\cos\left(ax+\frac{\pi}{2}\right)=a^2\sin\left(ax+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\)
\(f'''\left(x\right)=a^3\cos\left(ax+\pi\right)=a^3\sin\left(ax+\pi+\frac{\pi}{2}\right)=a^3\sin\left(ax+\frac{3\pi}{2}\right)\)
Dự đoán \(f^{\left(n\right)}\left(x\right)=a^n\sin\left(ax+\frac{n\pi}{2}\right)\left(1\right)\)
(1) được chứng minh bằng quy nạp như sau :
- (1) đúng khi n = 1,2,2
- Giả sử (1) đã đúng đến n. Ta phải chứng minh
\(f^{\left(n+1\right)}\left(x\right)=a^{n+1}\sin\left(ax+\frac{\left(n+1\right)\pi}{2}\right)\)
Theo giả thiết quy nạp ta có :
\(f^{\left(n+1\right)}\left(x\right)=\left(f^{\left(n\right)}\left(x\right)\right)'=\left(a^n\sin\left(ax+\frac{n\pi}{2}\right)\right)=a^n.a\cos\left(ax+\frac{n\pi}{2}\right)=a^{n+1}\sin\left(ax+\frac{n\pi}{2}+\frac{n\pi}{2}\right)=a^{n+1}\sin\left(ax+\frac{\left(n+1\right)\pi}{2}\right)\)
Vậy (2) đúng.
Theo nguyên lý quy nạp suy ra (1) đúng.
Như vậy ta có :
\(f^{\left(n\right)}\left(x\right)=a^n\sin\left(ax+\frac{n\pi}{2}\right)\)
Ta có : \(f\left(x\right)=\frac{1-\cos2ax}{2}.\cos bx=\frac{1}{2}\cos bx-\frac{1}{2}\cos2ax.\cos bx\)
\(=\frac{1}{2}\cos bx-\frac{\cos\left(2a+b\right)x+\cos\left(2a-b\right)x}{4}\)
\(=\frac{1}{2}\cos bx-\frac{1}{4}\cos\left(2a+b\right)x-\frac{1}{4}\cos\left(2a-b\right)x\)
\(f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\frac{1}{2}.b^n\cos\left(bx+\frac{b\pi}{2}\right)-\frac{1}{4}\left(2a+b\right)^n\cos\left[\left(2a+b\right)x+\frac{n\pi}{2}\right]-\frac{1}{4}\left(2a-b\right)^n\cos\left[\left(2a-b\right)x+\frac{n\pi}{2}\right]\)
Áp dụng : Khi a=1,b=2 tức là nếu \(f\left(x\right)=\sin^2x\cos2x\) ta có :
\(f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\frac{1}{2}.2^n\cos\left(2x+\frac{n\pi}{2}\right)-\frac{1}{4}.4^n\cos\left(4x+\frac{n\pi}{2}\right)\)
\(=2^{n-1}\cos\left(2x+\frac{n\pi}{2}\right)-4^{n-1}\cos\left(4x+\frac{n\pi}{2}\right)\)