Question

[Uzumaki Naruto]

cho em hỏi toán hình 9?

cho đường tròn (O), từ điểm A ở ngoài đường tròn vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC ( B; C là 2 tiếp điểm). OA cắt BC tại E 
1) chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp 
2) chứng minh BC vuông góc vs OA và BA .BE = AE . BO 
3) gọi I là trung điểm của BE. Đường thẳng qua I và luôn vuông góc vs OI cắt các tia AB, AC theo thứ tự tại D và F. Chứng minh góc IDO = góc BCO và ▲ DOF cân tại O 
4) chứng minh F là trung điểm của AC

Answer 1

[ngo hoang khang]

A B C F D O I E 1 1 1

a) Xét tứ giác ABOC có: \(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^{\sigma}\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^{\sigma}\)

=> tứ giác ABOC nội tiếp

b) Ta có: OB = OC = R

                AB = AC(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

=> OA là đường trung trực của BC

=> BC vuông góc OA

Xét tam giác OBA và tam giác BEA có

\(\widehat{OBA}=\widehat{BEA}=90^{\sigma}\)

\(\widehat{OAB}chung\)

\(\Rightarrow\Delta OBA\)đồng dạng \(\Delta BEA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{OB}{BE}=\frac{BA}{EA}\Rightarrow BA.BE=AE.BO\)

c) Xét tứ giác OIBD có \(\widehat{OID}=\widehat{OBD}=90^{\sigma}\), cùng nhìn CD

=> tứ giác OIBD nội tiếp

=> \(\widehat{IDO}=\widehat{IBO}=\frac{1}{2}sđ\widebat{IO}\left(gnt\right)\)

Mà \(\Delta OBC\)cân ( OB = OC = R) \(\Rightarrow\widehat{IBO}=\widehat{BCO}\)

\(\Rightarrow\widehat{IDO}=\widehat{BCO}\)

Chứng minh tương tự tứ giác ABOC được tứ giác OIFC nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{OFI}=\widehat{BCO}=\frac{1}{2}sđ\widebat{OI}\left(gnt\right)\)

\(\widehat{IDO}=\widehat{OFI}\Rightarrow\Delta DOF\)cân tại O

d) Tam giác DOF cân có OI là đường cao => OI đồng thời là đường trung tuyến => ID = IF

Xét tam giác IBD và tam giác IEF có:

IB = ID ( I là trung điểm BE)

góc BID = góc EIF ( đối đỉnh)

ID = IB (cmt)

=> tam giác IBD = tam giác EIF (c.g.c)

=> góc IDB = góc IFE

=> DB // EF hay EF//AB

XÉT tam giác CBA có E là trung điểm BC và EF//AB => EF là đường trung bình của tam giác CBA

=> F là trung điểm AC