Câu hỏi của Lê Ngọc Tân

Question

Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, điểm C có định trên đoạn thẳng OB (C khác O và B). Điểm M chuyển động trên đường tròn. Đường vuông góc với AB tại C cắt MA, MB theo thứ tự ở E và F.

Nguyễn Việt Hoàn · Accepted Answer

a) Chứng minh tứ giác BCME nội tiếp:

Góc BMC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O), nên ∠BMC = 90°.
Góc BCE = 90° (do EC vuông góc với AB tại C).
Tứ giác BCME có hai góc đối diện (∠BMC và ∠BCE) cùng bằng 90°, nên tổng hai góc đó bằng 180°.
Vậy tứ giác BCME nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh BF.BM = BE.NE không đổi:

Xét tam giác vuông MAB có MB là đường cao, ta có: BM² = BC.BA.
Vì BC và BA cố định, nên BM² không đổi.
Tứ giác BCME nội tiếp, suy ra ∠MEB = ∠MCB.
Tứ giác AFEC nội tiếp, suy ra ∠MCB = ∠FAB.
Suy ra ∠MEB = ∠FAB.
Tam giác EAN đồng dạng với tam giác FBN (g.g), suy ra: NE/BF = BE/BN hay BE.BF = NE.BN.
Tứ giác AENF nội tiếp, suy ra NE.BN=AE.NF
Tam giác AME đồng dạng với tam giác BMF(g.g) suy ra AE.BF=BE.AM
Suy ra BE.BF=AE.NF=BE.AM.
Mà AM=MB
Suy ra BE.BF=BE.MB
Suy ra BF.BM = BE.MB = BC.BA (không đổi).

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua một điểm cố định khác A:

Gọi I là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF với AB.
Tứ giác AEIF nội tiếp, suy ra ∠AIE = ∠AFE.
Tứ giác BCME nội tiếp, suy ra ∠AFE = ∠CBE.
Suy ra ∠AIE = ∠CBE.
Mà ∠CBE = ∠ABM = 90° - ∠MAB.
Tam giác ACI có ∠AIC = 90° - ∠MAB, suy ra ∠ACI = 90° - ∠IAC.
Vì ∠MAB = ∠IAC, nên ∠AIC = ∠ACI.
Suy ra tam giác ACI cân tại C.
Do đó, CI = CA.
Vì C và A cố định, nên I cố định.
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua điểm I cố định khác A.

Kết luận:

Tứ giác BCME nội tiếp.
BF.BM = BE.MB không đổi.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua một điểm cố định khác A.

Hy vọng lời giải này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán.

Câu trả lời:

a) Chứng minh tứ giác BCME nội tiếp:

Góc BMC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O), nên ∠BMC = 90°.
Góc BCE = 90° (do EC vuông góc với AB tại C).
Tứ giác BCME có hai góc đối diện (∠BMC và ∠BCE) cùng bằng 90°, nên tổng hai góc đó bằng 180°.
Vậy tứ giác BCME nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh BF.BM = BE.NE không đổi:

Xét tam giác vuông MAB có MB là đường cao, ta có: BM² = BC.BA.
Vì BC và BA cố định, nên BM² không đổi.
Tứ giác BCME nội tiếp, suy ra ∠MEB = ∠MCB.
Tứ giác AFEC nội tiếp, suy ra ∠MCB = ∠FAB.
Suy ra ∠MEB = ∠FAB.
Tam giác EAN đồng dạng với tam giác FBN (g.g), suy ra: NE/BF = BE/BN hay BE.BF = NE.BN.
Tứ giác AENF nội tiếp, suy ra NE.BN=AE.NF
Tam giác AME đồng dạng với tam giác BMF(g.g) suy ra AE.BF=BE.AM
Suy ra BE.BF=AE.NF=BE.AM.
Mà AM=MB
Suy ra BE.BF=BE.MB
Suy ra BF.BM = BE.MB = BC.BA (không đổi).

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua một điểm cố định khác A:

Gọi I là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF với AB.
Tứ giác AEIF nội tiếp, suy ra ∠AIE = ∠AFE.
Tứ giác BCME nội tiếp, suy ra ∠AFE = ∠CBE.
Suy ra ∠AIE = ∠CBE.
Mà ∠CBE = ∠ABM = 90° - ∠MAB.
Tam giác ACI có ∠AIC = 90° - ∠MAB, suy ra ∠ACI = 90° - ∠IAC.
Vì ∠MAB = ∠IAC, nên ∠AIC = ∠ACI.
Suy ra tam giác ACI cân tại C.
Do đó, CI = CA.
Vì C và A cố định, nên I cố định.
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua điểm I cố định khác A.

Kết luận:

Tứ giác BCME nội tiếp.
BF.BM = BE.MB không đổi.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua một điểm cố định khác A.

Hy vọng lời giải này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán.

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Answer

a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>BM$\perp$AE tại M

Xét tứ giác BCME có $\widehat{BCE}=\widehat{BME}=90^0$

nên BCME là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔAEB có

EC,BM là các đường cao

EC cắt BM tại F

Do đó: F là trực tâm của ΔAEB

=>AF$\perp$EB tại N

Xét ΔBNF vuông tại N và ΔBME vuông tại M có

$\widehat{NBF}$ chung

Do đó: ΔBNF~ΔBME

=>$\dfrac{BN}{BM}=\dfrac{BF}{BE}$

=>$BN\cdot BE=BF\cdot BM$