Question

[Phạm thị Khánh Vân]

Cho đường tròn (O,R) đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại điểm H (H nằm giữa Ovà B) .Trên tia đối của MN lấy điểm C sao cho đoạn thẳng AC cắt O tại K khác A . Hai dây MN và BK cắt nhau tại E

a, tính góc AKE

b, C/M : BE.BK = BN^2

c, giả sử KE=KC. C/M : KM^2 +KN^2 = 4R^2

(Kẻ hình giùm mình luôn nha )

Answer 1

[híp]

A B O M N H K E C P

a, Xét \(\Delta AKB\) có: \(\widehat{AKB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (chắn cung AB)

=> \(\widehat{AKB}=90^o\) hay \(\widehat{AKE}=90^o\)

b, Ta có: \(AB\perp MN\) mà AB là đường kính

=> EM = EN (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

Dễ chứng minh được \(\Delta BMH=\Delta BNH\left(c.c.c\right)\)

=> BM = BN (2 cạnh tương ứng) => \(\stackrel\frown{BM}=\stackrel\frown{BN}\)

Xét \(\Delta BEN\) và \(\Delta BNK\) có:

\(\widehat{B}\) chung

\(\widehat{BNE}=\widehat{BKN}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn 2 cung bằng nhau)

=> \(\Delta BEN\sim\Delta BNK\left(g.g\right)\)

=> \(\frac{BE}{BN}=\frac{BN}{BK}\Rightarrow BE.BK=BN^2\left(đpcm\right)\)

c, KE = KC (gt) => \(\Delta KEC\) vuông cân tại K => \(\widehat{KCE}=45^o\)

Xét tứ giác KHBC có: \(\widehat{H}=\widehat{K}=90^o\)

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh BC

=> KHBC là tứ giác nội tiếp

=> \(\widehat{KBH}=\widehat{KCH}=45^o\) (góc nội tiếp cùng chắn cung KH)

Vì OB = OK (=R) => \(\Delta OBK\) cân tại O

=> \(\widehat{BOK}=180^o-2\widehat{OBK}=90^o\)

=> \(OK\perp OB\) mà \(MN\perp OB\left(gt\right)\)

=> MN // OK

Kẻ thêm đường kính KP của đường kính (O) => KP // MN ; KP = 2R

Xét (O) có: KP và MN là 2 dây cung song song

=> \(\stackrel\frown{KN}=\stackrel\frown{MP}\Rightarrow KN=MP\)

Xét \(\Delta KMP\) có: \(\widehat{KMP}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> \(\Delta KMP\) vuông tại M

=> \(KM^2+MP^2=KP^2\)

=> \(KM^2+KN^2=KP^2=\left(2R\right)^2=4R^2\) (đpcm)