Question

[TRUONG LINH ANH]

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy không có điểm chung với đường tròn. Lấy một điểm A bất kỳ thuộc xy. Từ A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm). Ọua B kẻ đường thẳng vuông góc với AO, cát AO tại K và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là c.

a)  Tính độ dài OK nếu R = 5cm, OA = 10 cm.

b)  Chứng minh ràng: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c)  Kẻ OH vuông góc với xy tại H, BC cắt OH tại I. Chứng minh rằng: Khi A di chuyển trên đường thẳng xy thì độ dài đoạn thẳng OI không đổi.

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) Xét tam giác vuông ABO có đường cao BK, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có: 

\(OB^2=OK.OA\Rightarrow5^2=OK.10\Rightarrow OK=2,5\left(cm\right)\)

b) Xét tam giác cân OBC có OK là đường cao nên đồng thời là phân giác.

Vậy thì \(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)

Suy ra \(\Delta ABO=\Delta ACO\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{ABO}=90^o\)

Vậy nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Ta thấy ngay \(\Delta KOI\sim\Delta HOA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{OI}{OA}=\frac{OK}{OH}\Rightarrow OI=\frac{OK.OA}{OH}\)

Xét tam giac vuông ABO có BK là đường cao nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

\(OK.OA=OB^2=R^2\) không đổi. Lại có OH cũng không đổi (bằng khoảng cách từ O tới đường thẳng xy)

Vậy nên \(OI=\frac{R^2}{OH}\) không đổi.

Vậy khi A di chuyển trên đường thẳng xy thì độ dài đoạn thẳng OI không đổi.