Question

[froakie]

Cho đường tròn O; R và điểm A cố định thuộc đường tròn. Trên tiếp tuyến với O tại A lấy một điểm K cố định. Một đường thẳng d thay đổi đi qua K và không đi qua tâm O, cắt O tại hai điểm B và C (B nằm giữa C và K). Gọi M là trung điểm của BC. a). Chứng minh bốn điểm A,O,M,K cùng thuộc một đường tròn. b). Vẽ đường kính AN của đường tròn 0 . Đường thẳng qua A và vuông góc với BC cắt MN tại H . Chứng minh tứ giác BHCN là hình bình hành. c). Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC. d). Khi đường thẳng d thay đổi và thỏa mãn điều kiện của đề bài, điểm H di động trên đường

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: ΔOBC cân tại O

mà OM là đường trung tuyến

nên OM\(\perp\)BC tại M

Xét tứ giác KAOM có

\(\widehat{OAK}+\widehat{OMK}=90^0+90^0=180^0\)

=>KAOM là tứ giác nội tiếp

=>K,A,O,M cùng thuộc một đường tròn

b: AH\(\perp\)BC

OM\(\perp\)BC

Do đó: AH//OM

Xét ΔNAH có

O là trung điểm của NA

OM//AH

Do đó: M là trung điểm của NH

Xét tứ giác BHCN có

M là trung điểm chung của BC và HN

=>BHCN là hình bình hành

c: Xét (O) có

ΔACN nội tiếp

AN là đường kính

Do đó: ΔACN vuông tại C

=>CN\(\perp\)CA

BHCN là hình bình hành

=>BH//CN

Ta có: BH//CN

CN\(\perp\)CA

Do đó: BH\(\perp\)AC

Xét ΔABC có

BH,AH là các đường cao

BH cắt AH tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC