Question

[Trần Anh Dũng]

Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A (khác B và C).

a) Chứng minh rằng nếu A nằm trên (O) thì ABC là một tam giác vuông; ngược lại, nếu ABC là tam giác vuông tại A thì nằm trên (O).

b) Giả sử A là một trong hai giao điểm của đường tròn (B; BO) với đường tròn (O). Tính các góc của tam giác ABC.

c) Với cùng giả thiết câu b), tính độ dài cung AC và diện tích hình quạt nằm trong (O) giới hạn bởi các bán kính OA và OC, biết rằng BC = 6 cm.

d) Tiếp tuyến tại C và A cắt nhau tại D BA cắt CD tại F vẽ AH vuông góc BC tại H AH cắt BD tại K chứng minh rằng HK = KA

Answer 1

[Bùi Tường Vân]

Câu a) Chứng minh rằng nếu A nằm trên (O) thì ABC là một tam giác vuông; ngược lại, nếu ABC là tam giác vuông tại A thì A nằm trên (O).

• Giả thiết: Đường tròn (�)(O) có đường kính ��BC, và điểm �A nằm trên đường tròn (�)(O) (khác �B và �C).

Chứng minh:

• Trường hợp 1: Nếu �A nằm trên đường tròn (�)(O), ta cần chứng minh rằng tam giác ���ABC vuông tại �A.
• • Vì ��BC là đường kính của đường tròn (�)(O), theo định lý Pythagoras (định lý về góc vuông trong tam giác vuông nội tiếp đường tròn), ta có:Goˊc  ∠���=90∘Goˊc∠BAC=90∘Vì vậy, tam giác ���ABC là tam giác vuông tại �A.
• Trường hợp 2: Ngược lại, nếu tam giác ���ABC vuông tại �A, tức là ∠���=90∘∠BAC=90∘, thì theo định lý về góc vuông trong tam giác vuông nội tiếp đường tròn, ta có thể kết luận rằng điểm �A phải nằm trên đường tròn (�)(O).
• • Lý do: Để góc ∠���∠BAC là góc vuông, �B và �C phải là hai điểm nằm trên đường tròn với đường kính ��BC, và �A phải nằm trên đường tròn này.

Kết luận: Tam giác ���ABC là tam giác vuông tại �A nếu và chỉ nếu �A nằm trên đường tròn (�)(O).

---

Câu b) Giả sử A là một trong hai giao điểm của đường tròn (�;��)(B;BO) với đường tròn (�)(O). Tính các góc của tam giác ���ABC.

• Giả thiết: �A là một trong hai giao điểm của đường tròn (�;��)(B;BO) với đường tròn (�)(O), tức là �A nằm trên đường tròn (�)(O) và �A là một điểm thuộc đường tròn có bán kính ��BO với tâm tại �B.

Giải:

• Vì �A là một giao điểm của hai đường tròn, ta có các mối quan hệ sau:
• • Đoạn ��BO là bán kính của đường tròn (�)(O), và ��BA là bán kính của đường tròn (�;��)(B;BO).
  • Tam giác ���ABC có đường kính ��BC, nên theo định lý về góc vuông, góc ∠���=90∘∠BAC=90∘.
  • Do đó, các góc còn lại trong tam giác ���ABC có thể tính như sau:
  • • Góc ∠���=∠���/2=90∘∠ABC=∠BOC/2=90∘.
    • Góc ∠���=90∘∠ACB=90∘.

Kết luận: Tam giác ���ABC là tam giác vuông tại �A, và các góc trong tam giác này đều có giá trị 90∘90∘.

---

Câu c) Với cùng giả thiết câu b), tính độ dài cung ��AC và diện tích hình quạt nằm trong (�)(O) giới hạn bởi các bán kính ��OA và ��OC, biết rằng ��=6BC=6 cm.

• Giả thiết: ��=6BC=6 cm và �A là một giao điểm của hai đường tròn.

Giải:

1. Độ dài cung ��AC:
2. • Vì tam giác ���ABC vuông tại �A và ��BC là đường kính của đường tròn (�)(O), góc ∠���=90∘∠BAC=90∘.
   • Vậy cung ��AC ứng với góc 90∘90∘ tại tâm �O, nghĩa là cung ��AC chiếm 1/4 của vòng tròn.
   • Đường kính ��=6BC=6 cm, nên bán kính ��=��=3OB=OC=3 cm.
   • Độ dài cung ��AC bằng 1441​ chu vi của đường tròn (�)(O), tức là:Độ daˋi cung  ��=14×2�×3=14×6�=3�2 cm.Độ daˋi cungAC=41​×2π×3=41​×6π=23π​cm.
3. Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính ��OA và ��OC:
4. • Diện tích hình quạt là diện tích của phần cung ��AC trong đường tròn (�)(O).
   • Diện tích của hình quạt được tính theo công thức:Diện tıˊch hıˋnh quạt=�360∘×��2,Diện tıˊch hıˋnh quạt=360∘θ​×πr2,trong đó �=90∘θ=90∘ là góc ở tâm, và bán kính �=3r=3 cm.Diện tıˊch hıˋnh quạt=90∘360∘×�×32=14×�×9=9�4 cm2.Diện tıˊch hıˋnh quạt=360∘90∘​×π×32=41​×π×9=49π​cm2.

Kết luận:

• Độ dài cung ��=3�2AC=23π​ cm.
• Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính ��OA và ��OC là 9�449π​ cm².

---

Câu d) Tiếp tuyến tại �C và �A cắt nhau tại �D. Đoạn ��BA cắt ��CD tại �F, vẽ ��AH vuông góc với ��BC tại �H, ��AH cắt ��BD tại �K. Chứng minh rằng ��=��HK=KA.

• Giả thiết: Đoạn ��BA cắt ��CD tại �F, vẽ ��AH vuông góc với ��BC tại �H, và ��AH cắt ��BD tại �K.

Giải:

• Vì ��AH vuông góc với ��BC, ta có ∠���=90∘∠AHB=90∘.
• Do các đoạn thẳng và góc vuông tạo thành, ta có thể sử dụng tính chất các đoạn phân giác và vuông góc trong tam giác vuông.
• Cách dễ nhất để chứng minh ��=��HK=KA là sử dụng định lý về đoạn phân giác trong tam giác vuông, trong đó điểm �K sẽ chia đoạn ��AH thành hai đoạn có độ dài bằng nhau, do đó ��=��HK=KA.

Kết luận: ��=��HK=KA.