Question

[Nguyễn Thị Huế]

cho đường tròn (O), đường kính AB và điểm C nằm trên (O). Đường tròn đường kính OA cắt OC tại D. Kẻ CH ⊥ AB tại H. CMR:

a) A, C, D, H đồng viên

b) HD || AC

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Gọi I là trung điểm của OA

=>I là tâm đường tròn đường kính OA

Xét (I) có

ΔADO nội tiếp

AO là đường kính

Do đó: ΔADO vuông tại D

Xét tứ giác ADHC có \(\hat{ADC}=\hat{AHC}=90^0\)

nên ADHC là tứ giác nội tiếp

b: ADHC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{ODH}=\hat{OAC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH)

mà \(\hat{OAC}=\hat{OCA}\) (ΔOAC cân tại O)

nên \(\hat{ODH}=\hat{OCA}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AC//DH

Answer 2

[Trần Hoàng Trung]

Giải phần (a): Chứng minh A, C, D, H đồng viên

1. Cách tiếp cận: Ta sẽ sử dụng định lý đường kính của đường tròn, định lý tứ giác nội tiếp và một số tính chất hình học.
2. Bước 1: Tính chất đường tròn
3. • Cho đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) có đường kính \(A B\), với điểm \(C\) nằm trên đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\). Do \(A B\) là đường kính, ta có \(\angle A C B = 90^{\circ}\) (theo định lý góc vuông tại điểm trên đường tròn có đường kính là cạnh huyền).
4. Bước 2: Định lý tứ giác nội tiếp
5. • Vì \(D\) là giao điểm của \(O C\) và đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), ta có \(D\) nằm trên đường tròn. Như vậy, tứ giác \(A C D H\) có các điểm \(A\), \(C\), \(D\), và \(H\) nằm trên một đường tròn.
   • Cụ thể, ta có tứ giác \(A C D H\) là tứ giác nội tiếp đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) vì tổng các góc đối diện trong tứ giác này bằng 180° (theo định lý tứ giác nội tiếp).

Kết luận (a): Tứ giác \(A C D H\) là tứ giác nội tiếp nên các điểm \(A , C , D , H\) đồng viên.

Giải phần (b): Chứng minh \(H D \parallel A C\)

1. Cách tiếp cận: Ta sử dụng định lý góc vuông và các tính chất của các đoạn thẳng vuông góc.
2. Bước 1: Tính chất của các đoạn vuông góc
3. • \(C H \bot A B\) tại \(H\), tức là \(C H\) vuông góc với \(A B\), nên ta có \(\angle C H B = 90^{\circ}\).
4. Bước 2: Chứng minh góc tương ứng
5. • Xét tam giác \(A C B\) với \(\angle A C B = 90^{\circ}\), do đó \(A C\) là một cạnh góc vuông của tam giác vuông \(A C B\).
   • Xét các góc tại điểm \(D\) trên đường tròn: ta có \(\angle C D A = \angle C B A\) (góc nội tiếp cùng chắn một cung của đường tròn). Vì vậy, \(\angle C D A = \angle C B A\).
6. Bước 3: So sánh các góc vuông
7. • Ta có \(\angle C H B = 90^{\circ}\) (do \(C H \bot A B\)), và \(\angle C D A = \angle C B A\).
   • Từ đó suy ra, \(\angle H D C = \angle A C B\), và góc này là một góc vuông.
8. Bước 4: Kết luận
9. • Vì \(\angle H D C = \angle A C B\) và \(\angle C H B = 90^{\circ}\), ta có thể suy ra rằng \(H D \parallel A C\)(theo định lý về góc đồng vị trong các đường thẳng song song).

Kết luận (b): \(H D \parallel A C\).

Tổng kết:

• (a) A, C, D, H đồng viên vì tứ giác \(A C D H\) là tứ giác nội tiếp đường tròn.
• (b) \(H D \parallel A C\) do các