Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Hạ \(OH\perp AB\), \(OK\perp CD\). Dễ thấy tứ giác OHMK là hình chữ nhật \(\Rightarrow HK=OM\)
Lại có \(AB^2=4HB^2=4\left(OB^2-OH^2\right)=4R^2-4OH^2\) (1)
và \(CD^2=4CK^2=4\left(OC^2-OK^2\right)=4R^2-4OK^2\) (2)
Từ (1) và (2), suy ra \(AB^2+CD^2=8R^2-4\left(OH^2+OK^2\right)\) \(=8R^2-4HK^2=8R^2-4OM^2\) không đổi, đpcm.
Do tính đối xứng, không mất tính tổng quát, giả sử M nằm trên cung nhỏ AC
Từ M lần lượt kẻ ME vuông góc AB và MF vuông góc CD
Do \(\widehat{AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow\widehat{AMB}=90^0\) hay tam giác AMB vuông tại M
Áp dụng hệ thức lượng: \(ME.AB=MA.MB\) \(\Leftrightarrow MA.MB=2R.ME\)
Tương tự: \(MC.MD=2R.MF\)
\(\Rightarrow MA.MB.MC.MD=4R^2.ME.MF\)
\(\Rightarrow\) Tích số đã cho đạt max khi \(ME.MF\) đạt max
Lại có tứ giác MEOF là hình chữ nhật (4 góc vuông)
\(\Rightarrow EF=MO=R\)
Áp dụng BĐT \(ab\le\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\) ta có:
\(ME.MF\le\dfrac{1}{2}\left(ME^2+MF^2\right)=\dfrac{1}{2}EF^2=\dfrac{1}{2}R^2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(ME=MF\) hay M nằm chính giữa cung AC
Vậy MA.MB.MC.MD đạt max khi M nằm chính giữa một trong các cung nhỏ AC, CB, BD hoặc DA
