Question

[Nguyễn Huệ Lam]

Cho đoạn thẳng AB cố định và điểm C sao cho \(\widehat{ACB}=\alpha\) không đổi \(\left(0^o< \alpha< 180^o\right)\). Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại D, E, F. Các đường thẳng AI, BI cắt EF tại M, N

a) Chứng min BM vuông góc với AI

b) MN có độ dài không đổi

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua một điểm cố định

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) Giả sử AB < AC.  (Các trường hợp khác chứng minh tương tự)

Ta có tam giác CEF cân tại C nên \(\widehat{CEF}=\frac{180^o-\widehat{C}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{MEB}=\frac{180^o-\widehat{C}}{2}\)

Ta có \(\widehat{MIB}=\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}=\frac{180^o-\widehat{C}}{2}\)

Hay \(\widehat{MEB}=\widehat{MIB}\). Suy ra tứ giác EMBI là tứ giác nội tiếp.

\(\widehat{IMB}=\widehat{IEB}=90^o\Rightarrow MB\perp AI.\)

b) Chứng minh tương tự \(\widehat{ANI}=90^o\Rightarrow\) tứ giác ANMB nội tiếp đường tròn đường kính AB cố định.

Mà \(\widehat{MBN}=90^o-\widehat{MIB}=\frac{\widehat{ACB}}{2}=\frac{\alpha}{2}=const\)

Do MN là dây cung chắn một góc không đổi trên đường tròn đường kính AB nên độ dài MN không đổi.

c) Gọi O là trung điểm AB thì \(\widehat{MON}=2.\widehat{MBN}=\alpha\)  

Do tứ giác IMBD nội tiếp nên \(\widehat{IDM}=\widehat{IBM}=\frac{\alpha}{2}\)

Tương tự : \(\widehat{IDN}=\frac{\alpha}{2}\)

Do đó \(\widehat{MDN}=\alpha=\widehat{NOM}\)

Suy ra tứ giác MNDO nội tiếp hay O thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN.

Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua điểm O cố định khi C thay đổi.