Question

[BÙI VĂN LỰC]

       Cho điểm M nằm ngoài (O;R) sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB với (O) và \(\widehat{AMB}\)là góc nhọn  (A,B là các tiếp điểm). Kẻ AH  vuông góc với MB tại H , đường thẳng AH cắt (O) tại N (N khác A). Đường tròn đường kính NA cắt các đường thẳng AB, MA lần lượt tại I và K (I, K khác A).

1) Chứng minh rằng: tứ giác NHBI là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh rằng : tam giác NHI đồng dạng với tam giác NIK

3) Gọi C là giao điểm của NB và HI, D là giao điểm của NA và  KI. Chứng minh rằng CD sng song với AB.

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

1) Xét đường tròn tâm O' đường kính AN: Điểm I thuộc (O') => ^AIN=90⁰ => ^NIB=90⁰

Xét tứ giác NHBI: ^NHB=^NIB=90⁰ => Tứ giác NHBI nội tiếp đường tròn (đpcm).

2) Ta có tứ giác AKNI nội tiếp (O') => ^KAI+^KNI=180⁰ (1)

Tứ giác NHBI nội tiếp đường tròn (cmt) => ^INH+^IBH=180⁰ (2)

MA và MB là 2 tiếp tuyến của (O;R) => MA=MB => \(\Delta\)AMB cân tại M

=> ^MAB=^MBA hay ^KAI=^IBH (3)

Từ (1); (2) và (3) => ^KNI=^INH

Ta thấy: ^NKI=^NAI (Cùng chắn cung NI)

Theo t/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung => NAI=^NBH

=> ^NKI=^NBH. Mà ^NBH=^NIH (Cùng chắn cung HN) => ^NKI=^NIH

Xét \(\Delta\)NHI và \(\Delta\)NIK: ^NIH=^NKI; ^KNI=^INH (cmt) => \(\Delta\)NHI~\(\Delta\)NIK (g.g) (đpcm).

3) ^NIH=^NKI. Mà ^NKI=^NAI => ^NIH=^NAI hay ^NIC=^NAB (4)

^NIK=^NAK (Chắn cung NK). Mà ^NAK=^NBA (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

=> ^NIK=^NBA hay ^NID=^NBA (5)

Cộng (4) & (5) => ^NIC+^NID = ^NAB+^NBA = 180⁰ - ^ANB = 180⁰-^CND

=> ^CID+^CND=180⁰ => Tứ giác CNDI nội tiếp đường tròn => ^NDC=^NIC

Lại có: ^NIC=^NKI=^NAI => ^NDC=^NAI (2 góc đồng vị) => CD//AI hay CD//AB (đpcm).