Question

[Nguyễn Thị Hoàng Xa]

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R). Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB và cát tuyến MCD(A, B, C, D

cùng thuộc đường tròn (O)), tia MC nằm giữa tia MO và MA. Gọi H là giao điểm của MO và AB.

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Gọi K là trung điểm của CD. Chứng minh 5 điểm M, K, A, O, B cùng thuộc một đường tròn. Suy ra KM

c) Đường thằng OK cắt đường thẳng AB tại N . Chứng minh ND là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Vẽ đường kính BE của đường tròn (O). Từ C vẽ đường thẳng song song với OM cắt các đường thẳng BE

và ED lần lượt tại I, P . Chứng minh I là trung điểm CP .

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)

nên MAOB là tứ giác nội tiếp

b: Ta có; ΔOCD cân tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên OK\(\perp\)CD tại K

Ta có: \(\widehat{OKM}=\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^0\)

=>O,K,A,M,B cùng thuộc đường tròn đường kính OM

c: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của BA(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của BA(2)

Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của AB

=>OM\(\perp\)AB tại H

Xét ΔOHN vuông tại H và ΔOKM vuông tại K có

\(\widehat{HON}\) chung

Do đó: ΔOHN~ΔOKM

=>\(\dfrac{OH}{OK}=\dfrac{ON}{OM}\)

=>\(OH\cdot OM=OK\cdot ON\left(3\right)\)

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2=R^2\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(OK\cdot ON=R^2=OD^2\)

=>\(\dfrac{OK}{OD}=\dfrac{OD}{ON}\)

Xét ΔOKD và ΔODN có

\(\dfrac{OK}{OD}=\dfrac{OD}{ON}\)

\(\widehat{KOD}\) chung

Do đó: ΔOKD~ΔODN

=>\(\widehat{OKD}=\widehat{ODN}=90^0\)

=>ND là tiếp tuyến của (O)