Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
M N C A B O E I F x y
a/ C và M cùng nhìn AO dưới 1 góc vuông => C và M thuộc đường tròn đường kính AO => ACOM là tư giác nội tiếp
b/
Xét tg vuông BON có
\(BN=\sqrt{OB^2-ON^2}=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3}\)
\(\sin\widehat{OBN}=\frac{ON}{OB}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{OBN}=30^o\)
Ta có \(BN=BC\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm băng nhau)
Xét tg vuông BOC
\(\sin\widehat{OBC}=\frac{OC}{OB}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{OBC}=30^o\)
\(\Rightarrow\widehat{NBC}=\widehat{OBN}+\widehat{OBC}=30^o+30^o=60^o\)
c/
Ta có
E; F là trung điểm của CM và CN (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm vuông góc và chia đôi dây cung nối 2 tiếp điểm)
=> EF là đường trung bình của \(\Delta MCN\) => EF//MN (1)
Ta có
\(AM\perp MN;BN\perp MN\) => AM//BN \(\Rightarrow\frac{IA}{IN}=\frac{IM}{IB}=\frac{AM}{BN}\) (talet trong tam giác)
Mà \(AM=AC;BN=BC\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm băng nhau)
\(\Rightarrow\frac{IA}{IN}=\frac{IM}{IB}=\frac{AC}{BC}\) (2)
Ta có
\(\widehat{MCN}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(CM\perp AO;CN\perp BO\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{MCN}=\widehat{AOB}=90^o\)
\(\Rightarrow CM\perp AO;BO\perp AO\) => CM//BO
Xét \(\Delta ABO\) có CM//BO \(\Rightarrow\frac{EA}{EO}=\frac{AC}{BC}\) (3)
Từ (2) và (3) \(\Rightarrow\frac{EA}{EO}=\frac{IA}{IN}\)
Nối E với I, xét \(\Delta AON\) có \(\frac{EA}{EO}=\frac{IA}{IN}\) => EI//MN (Talet đảo trong tam giác) (4)
Từ (1) và (4) => EF trung EI (Từ 1 điểm ngoài 1 đường thẳng chỉ duy nhất dựng được 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho)
=> E; I; F thẳng hàng
4) Ta có: \(AM//PQ\)( cùng vuông góc với OC )
Xét tam giác COQ có: \(EM//OQ\)
\(\Rightarrow\frac{CE}{CO}=\frac{EM}{OQ}\)( hệ quả của định lý Ta-let ) (1)
Xét tam giác COP có: \(AE//OP\)
\(\Rightarrow\frac{CE}{CO}=\frac{AE}{OP}\)( hệ quả của định lý Ta-let ) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{EM}{OQ}=\frac{AE}{OP}\)Mà AE=EM
\(\Rightarrow OQ=OP\)
Xét tam giác CPQ và tam giác COP có chung đường cao hạ từ C, đáy \(OP=\frac{PQ}{2}\)
\(\Rightarrow S_{\Delta CPQ}=2.S_{\Delta COP}\)
Ta có: \(S_{\Delta COP}=\frac{1}{2}OA.CP=\frac{1}{2}R.CP\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác COP vuông tại O có đường cao OA ta có:
\(OA^2=CA.AP\)
Mà \(CA.AP\le\frac{\left(CA+AP\right)^2}{4}=\frac{PC^2}{4}\)( BĐT cô-si )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow AC=AP\)
\(\Rightarrow PC^2\ge4OA^2\)
\(\Rightarrow PC\ge2OA=2R\)
\(\Rightarrow S_{\Delta COP}\ge R^2\)
\(\Rightarrow S_{\Delta CPQ}\ge2R^2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow AC=AP\)
Mà tam giác COP vuông tại O có đường cao OA
\(\Rightarrow AC=AP=OA=R\)
Khi đó áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác CAO vuông tại A ta được:
\(AC^2+AO^2=OC^2\)
\(\Rightarrow OC=\sqrt{AC^2+AO^2}=R\sqrt{2}\)
Vậy điểm C thuộc đường thẳng d sao cho \(OC=R\sqrt{2}\)thì diện tích tam giác CPQ nhỏ nhất
a) Theo t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có
góc AOC = góc COM
góc MOD = góc DOB
=> COM +MOD =AOC +BOD = 1/2 AOB = 90o (đpcm)
b) Xét tam giác AOC và tg BDO
Có góc AOC = góc BDO ( cùng phụ BOD)'
góc ACO = góc BOD ( cùng phụ AOC )
=> tg AOC đồng dạng tg BDO (gg)
=> \(\frac{AC}{AO}=\frac{BO}{BD}\Rightarrow AC.BD=AO.BO=R^2\)
a, - Ta có : CA, MA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O .
=> \(\left\{{}\begin{matrix}AM\perp MO\\CO\perp CA\end{matrix}\right.\)
- Xét tứ giác ACOM có : \(\widehat{AMO}+\widehat{ACO}=90^o+90^o=180^o\)
=> Tứ giác ACOM nội tiếp đường tròn .
b, - Áp dụng định lý pi - ta - go vào tam giác OBN vuông tại N có :
\(ON^2+NB^2=OB^2\)
- Thay số : \(R^2+BN^2=4R^2\)
=> \(BN=\sqrt{4R^2-R^2}=\sqrt{3R^2}=R\sqrt{3}\left(cm\right)\)
- Áp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác OBN vuông tại N có :
\(TanOBN=\frac{ON}{BN}=\frac{R}{R\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
=> \(\widehat{OBN}=30^o\)
Mà 2 tiếp tuyến CB, BN cắt nhau tại B .
=> OB là phân giác của góc NBC .
=> \(\widehat{OBN}=\frac{1}{2}\widehat{NBC}\)
=> \(\widehat{NBC}=60^o\)