Question

[Thúy Hằng]

cho điểm A nằm ngoài đt (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB , AC với đt (O) ( B , C là tiếp điểm ) , kẻ BH ⊥ AO , vẽ dây DC // AB . DDg thẳng AD cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là E . TIa CE cắt AB tại Ma) C/m AH.AO=AE.ADb) C/m MB ² = MC.MFc) C/m M là trung điểm AB

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao ứng với cạnh huyền OA, ta được:

\(AH\cdot AO=AB^2\)(1)

Xét (O) có

\(\widehat{ABE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BE

\(\widehat{BDE}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{BE}\)

Do đó: \(\widehat{ABE}=\widehat{BDE}\)(Hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

hay \(\widehat{ABE}=\widehat{ADB}\)

Xét ΔABE và ΔADB có 

\(\widehat{ABE}=\widehat{ADB}\)(cmt)

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE∼ΔADB(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Leftrightarrow AB^2=AD\cdot AE\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot AO=AE\cdot AD\)(đpcm)