Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời. 1) Áp dụng BĐT Cô si ta có \(\left(\sqrt{a+b}-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a,b\inĐK\) \(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{a+b}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\ge0\) \(\Leftrightarrow a+b+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{a+b}\) vậy ĐPCM Bài 2 Áp dụng bđt Cauchy ta có \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\le\dfrac{\sqrt{ab}}{2}\) Thiết lập tương tự và thu lại ta có: \(\Rightarrow VP\le4\left(\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}\right)=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(1\right)\) Áp dụng bđt Cauchy ta có \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Rightarrow\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge2.2\sqrt{ab}.\dfrac{1}{2}=2\sqrt{ab}\) Thiết lập tương tự và thu lại ta có: \(\Rightarrow VT\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(2\right)\) Từ (1) và (2) \(\Rightarrow VT\ge VP\) \(\Rightarrowđpcm\) 1. Nhân 2 vế của BĐT với \(\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) \(3(a^2+b^2+c^2)(a+b)(b+c)(c+a)\ge(a+b+c)\left(Σ_{cyc}(a^2+b^2)(c+a)(c+b)\right)\) \(\LeftrightarrowΣ_{perms}a^2b\left(a-b\right)^2\ge0\) *đúng* 1) áp dụng cauchy cho (a+b) và 1/4 \(\frac{\left(a+b\right)+\frac{1}{4}}{2}\ge\sqrt{\left(a+b\right)\cdot\frac{1}{4}}\) \(\Rightarrow a+b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a+b}\) (Đẳng thức khi \(a+b=\frac{1}{4}\)) 2) Ta có: \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=x^2+x+\frac{1}{4}>x\) \(\Rightarrow\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2>a+b=\frac{1}{\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{b}};\) với x,y>0 ta có: \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\) \(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{b}}\ge\frac{4}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)\(\Rightarrow\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2>\frac{4}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}};\) Tương tự với \(\left(b+c+\frac{1}{2}\right)^2\) và \(\left(c+a+\frac{1}{2}\right)^2\)Ta có: \(\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+c+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+a+\frac{1}{2}\right)^2\) \(>4\left(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}\right)\) Không xảy ra đẳng thức (Nếu vế trái là \(\left(a+b+\frac{1}{4}\right)^2+\left(b+c+\frac{1}{4}\right)^2+\left(c+a+\frac{1}{4}\right)^2\) Thì mới xảy ra đẳng thức. I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán" 1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn; 2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn. 3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp. Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web. BT2: Nhân 2 lên, chuyển vế, biến đổi bla..... sẽ ra đpcm Đề sai rồi: a,b,c > 0 thì làm sao mà có: ab + bc + ca = 0 được. Không ai thảo luận câu này sao. T khởi động trước nhá. Ta có: \(\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)=\dfrac{\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right).\cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)}{\sin\dfrac{C}{2}}\) \(=\dfrac{\cos A+\cos B}{2\sqrt{\dfrac{1-\cos C}{2}}}=\dfrac{\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ca}}{2\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{2}}}\) \(=\dfrac{\dfrac{\left(a+b\right)\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)}{abc}}{2\sqrt{\dfrac{c^2-\left(a-b\right)^2}{ab}}}=\dfrac{\left(a+b\right)\sqrt{c^2-\left(a-b\right)^2}}{2c\sqrt{ab}}\) Ta sẽ chứng minh: \(\dfrac{\left(a+b\right)\sqrt{c^2-\left(a-b\right)^2}}{2c\sqrt{ab}}\le\dfrac{a+b}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{2abc^2}{c^2-\left(a-b\right)^2}\ge a^2+b^2\) \(\Leftrightarrow2abc^2-\left(a^2+b^2\right)\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2-c^2\right)\ge0\) (đúng vì tam giác ABC nhọn) \(\Rightarrow\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)\le\dfrac{a+b}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\left(1\right)\) Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)\le\dfrac{b+c}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}\left(2\right)\\\cos\left(\dfrac{C-A}{2}\right)\le\dfrac{c+a}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}}\left(3\right)\end{matrix}\right.\) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được ĐPCM. Thảo luận mình là người thứ 2 Chẳng thấy đề có kết nối giữa hai đại lượng [(ABC);(a,b,c)] gì cả --> thiếu mối liên lạc cần thiết -->đề chưa thực sự rõ rằng --->Đề có suy biến --->lời giải (nếu có) phải là lời giải biện luận theo đề--->chưa thể chấp nhận lời giải trên Viết gọn lại, ta cần chứng minh: \(\Leftrightarrow\sum\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\sum4\left(\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{ab}}\right)=\sum\dfrac{4ab}{a+b}\) Thật vậy, ta có: \(\sum\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\sum\left(2\sqrt{\left(a+b\right).\dfrac{1}{4}}\right)^2=\sum a+b\) Vậy ta cần chứng minh: \(\sum a+b\ge\sum\dfrac{4ab}{a+b}\Leftrightarrow\sum\left(a+b\right)^2\ge\sum4ab\Leftrightarrow\sum\left(a-b\right)^2\ge0\) Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c Bài 1: Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{b+c}.\dfrac{b+c}{4}}=2\sqrt{\dfrac{a^2}{4}}=a\) (1) Chứng minh tương tự: \(\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c+a}{4}\ge b\) (2) \(\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4}\ge c\) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{b+c}{4}+\dfrac{c+a}{4}+\dfrac{a+b}{4}\ge a+b+c\) \(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\) \(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge a+b+c\) Bài 2: Theo bđt Cauchy ta có: \(1+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a+1}{a}=\dfrac{2a+b+c}{a}\ge\dfrac{2a+2\sqrt{bc}}{a}\ge\dfrac{2\left(a+\sqrt{bc}\right)}{a}\ge\dfrac{4\sqrt{a\sqrt{bc}}}{a}\) \(\Rightarrow1+\dfrac{1}{a}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{bc}{a^2}}\) Chứng minh tương tự: \(1+\dfrac{1}{b}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{ca}{b^2}}\) \(1+\dfrac{1}{c}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{ab}{c^2}}\) Nhân vế theo vế 3 bđt trên ta được: \(\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)\ge4^3\sqrt[4]{\dfrac{\left(abc\right)^2}{a^2b^2c^2}}\) \(\Leftrightarrow\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)\ge64\left(dpcm\right)\)
K
Khách
NT
Nguyễn Thanh Hằng
30 tháng 10 2018
Đúng(0)
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DL
1 tháng 12 2017
KK
19 tháng 5 2018
TN
3 tháng 9 2017
NC
2 tháng 12 2017
6I
1 tháng 12 2017
31 tháng 8 2017
HN
11 tháng 10 2018
HN
12 tháng 4 2017
18 tháng 4 2017
UK
2 tháng 12 2017
\(\sum\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\sum4\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\right)\)
5 tháng 10 2018
S
5 tháng 10 2018
