Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đường thẳng d bất kì đi qua A nên d có thể có các vị trí sau:
+) d không cắt cạnh BC.
Trong tam giác vuông AHB có: góc HAB + ABH = 900 (1)
Mà góc HAB + BAC + CAE = 180o => góc HAB + CAE = 180o - BAC = 180 - 90 = 90o (2)
(1)(2) => góc ABH = CAE
tam giác vuông ABH = CAE ( do cạnh huyền AB = AC; góc ABH = CAE)
=> AH = CE
*) Áp dụng định lí Pi ta go trong tam giác vuông ABH có: BH2 + AH2 = AB2
mà AH = CE nên BH2 + CE2 = BH2 + AH2 = AB2
Dễ có: AB2 + AC2 = BC2 ; AB = AC => 2.AB2 = a2 => AB2 = a2/ 2
Vậy BH2 + CE2 = a2/ 2
+) Khi d trùng với AB :
=> H trùng với B; E trùng với A=> BH = 0; CE = CA
=> BH2 + CE2 = AC2 = a2/ 2
+) d trùng với AC (tương tự như d trùng với AB)
+) Khi d cắt cạnh BC:
*) Ta cũng chứng minh : tam giác AEC = BHA (cạnh huyền - góc nhọn)
=> BH = AE
*) Trong tam giác vuông AEC có: AE2 + CE2 = AC2
=> BH2 + CE2 = AE2 + CE2 = AC2 = a2/ 2
Vậy BH2 + CE2 = AC2 = a2/ 2
Đề bài không đúng.
Đặt \(\alpha=\widehat{HCA};AB=c;AC=b\) thì \(\widehat{BAH=\alpha}\) và \(KB=c\sin\alpha;HC=b\cos\alpha\) từ đó
\(KB^2+HC^2=c^2\sin^2\alpha+b^2\cos^2\alpha\)
Nếu \(\alpha=45^0\)thì \(KB^2+HC^2=c^2\sin^245^0+b^2\cos^245^0=\frac{1}{2}\left(c^2+b^2\right)\).
Nếu \(\alpha=30^0\) thì \(KB^2+HC^2=c^2\sin^230^0+b^2\cos^230^0=\frac{1}{4}\left(c^2+3b^2\right)\).
Nếu \(\alpha=60^0\) thì \(KB^2+HC^2=c^2\sin^260^0+b^2\cos^260^0=\frac{1}{4}\left(3c^2+b^2\right)\).
Như vậy tổng \(KB^2+HC^2\) thay đổi khi đường thẳng d quay quanh A.
Đường thẳng d bất kì đi qua A nên d có thể có các vị trí sau:
+) d không cắt cạnh BC.
Trong tam giác vuông AHB có: góc HAB + ABH = 900 (1)
Mà góc HAB + BAC + CAE = 180o => góc HAB + CAE = 180o - BAC = 180 - 90 = 90o (2)
(1)(2) => góc ABH = CAE
tam giác vuông ABH = CAE ( do cạnh huyền AB = AC; góc ABH = CAE)
=> AH = CE
*) Áp dụng định lí Pi ta go trong tam giác vuông ABH có: BH2 + AH2 = AB2
mà AH = CE nên BH2 + CE2 = BH2 + AH2 = AB2
Dễ có: AB2 + AC2 = BC2 ; AB = AC => 2.AB2 = a2 => AB2 = a2/ 2
Vậy BH2 + CE2 = a2/ 2
+) Khi d trùng với AB :
=> H trùng với B; E trùng với A=> BH = 0; CE = CA
=> BH2 + CE2 = AC2 = a2/ 2
+) d trùng với AC (tương tự như d trùng với AB)
+) Khi d cắt cạnh BC:
*) Ta cũng chứng minh : tam giác AEC = BHA (cạnh huyền - góc nhọn)
=> BH = AE
*) Trong tam giác vuông AEC có: AE2 + CE2 = AC2
=> BH2 + CE2 = AE2 + CE2 = AC2 = a2/ 2
Vậy BH2 + CE2 = AC2 = a2/ 2
Trường hợp đường thẳng d không cắt cạnh BC \(\Delta AHB=\Delta CEA\)cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau , do đó : CE = AH
Tam giác AHB vuông tại H,theo định lý Pitago, ta có :
\(AH^2+BH^2=AB^2\)không đổi, suy ra \(BH^2+CE^2=AB^2\)không đổi.Trường hợp đường thẳng d cắt cạnh BC tại một điểm nằm giữa B và C, ta vẫn có : \(BH^2+CE^2=AB^2\)không đổi.Nếu đường thẳng d không trùng với đường thẳng AB thì điểm \(E\equiv A\)còn điểm \(E\equiv C\)khi đó : EH = BA , EK = 0 nên \(BH^2+CE^2=AB^2\)không đổi
Vậy tổng \(BH^2+CE^2\)không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d.