Question

[Trần Thị Quỳnh chi]

Cho \(\Delta ABC\)và M là một điểm nằm trong tam giác.

a) Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC. Chứng minh rằng MA+ MB<IA + IB < CA + CB.

b) Chứng minh rằng MA + MB + MC > nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của \(\Delta ABC.\)

Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức tam giác cho các tam giác đinh I và M.

(vẽ hình đầy đủ, giải chi tiết cho mình vs nha)

Answer 1

[KhảTâm]

a) Ta lần lượt xét:

• Trong \(\Delta AMI\), ta có:

                              \(MA< IA+IM\Leftrightarrow MA+MB< IA+IM+MB\)

                             \(\Leftrightarrow MA+MB< IA+IB\)                (1)

• Trong \(\Delta BIC\),ta có:

                              \(IB< CI+CB\Leftrightarrow IA+IB< IA+CI+CB\)

                              \(\Leftrightarrow IA+IB< CA+CB\)                 (2)

Từ (1), (2), ta nhận được  \(MA+MB< IA+IB< CA+CB,đpcm\)

b) Ta lần lượt xét:

• Trong \(\Delta MAB\), ta có \(MA+MB>AB\left(3\right)\)
• Trong \(\Delta MBC\), ta có \(MB+MC>BC\left(4\right)\)
• Trong \(\Delta MAC,\)ta có \(MA+MC>AC\left(5\right)\)

Cộng theo vế (3),(4),(5), ta được:

\(2\left(MA+MB+MC\right)>AB+BC+AC\)

\(\Leftrightarrow MA+MB+MC>\frac{1}{2}\left(AB+BC+AC\right),đpcm.\)

Mặt khác dựa theo kết quả cua câu a), ta có:

\(MA+MB< CA+CB\left(6\right)\)

\(MB+MC< AB+AC\left(7\right)\)

\(MA+MC< BA+BC\left(8\right)\)

Cộng theo vế (6),(7),(8), ta được:

\(2\left(MA+MB+MC\right)< 2\left(AB+BC+AC\right)\)

\(\Leftrightarrow MA+MB+MC< AB+BC+AC,đpcm.\)