K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 2 2019

Lời giải:

a) Đặt \(AB=x; AC=y\)

Theo định lý Pitago: \(x^2+y^2=AB^2+AC^2=BC^2=25(1)\)

\(xy=AB.AC=2S_{ABC}=AH.BC=10(2)\)

Từ (1);(2) kết hợp với điều kiện $x<y$ ta dễ dàng tìm được \(AB=\sqrt{5}(cm)\)

b)

Kẻ $ID\perp HK$ ($D\in HK$)

Xét tam giác $IDK$ và $KHC$ có:

\(\widehat{IDK}=\widehat{KHC}=90^0\)

\(\widehat{IKD}=90^0-\widehat{HKC}=\widehat{KCH}\)

\(\Rightarrow \triangle IDK\sim \triangle KHC(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{ID}{DK}=\frac{KH}{HC}=\frac{2AH}{HC}\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:

\(AH^2=BH.HC\Rightarrow \frac{AH}{HC}=\frac{BH}{AH}\)

Do đó: \(\frac{ID}{DK}=\frac{2BH}{AH}\Rightarrow \frac{BH}{ID}=\frac{AH}{2DK}(1)\)

Áp dụng định lý Ta-let khi \(BH\parallel ID\) ta có: \(\frac{BH}{ID}=\frac{AH}{AD}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow 2DK=AD\)

\(\Leftrightarrow AD=2(HK-HD)=2HK-2HD=4AH-2HD\)

\(\Leftrightarrow AH+HD=4AH-2HD\)

\(\Leftrightarrow AH=HD\)

Áp dụng đl Ta-let \(\frac{AB}{BI}=\frac{AH}{HD}=1\Rightarrow AB=BI\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 2 2019

Violympic toán 9

a. Hai tam giác vuông AMO và ANO có AO cạnh huyền chung; ^MAO = ^NAO => ΔAMO =ΔANO (cạnh huyền - góc nhọn) => AM = AN. Trong đường tròn đường kính AO có dây AN = dây AM => Cung AN = cungAM => ^MHA = ^NHA (chắn hai cung bằng nhau )

=> HA là phân giác của ^MHN (đpcm)

b. Ta có ^AMO = ^AHO =^ANO = 90 nên các điểm A, M, H, O, N thuộc đường tròn đường kinh AO

5 tháng 2 2020

Gọi AM cắt DE tại I 

Theo tính chất hình chữ nhật ADHE : \(\widehat{E_1}=\widehat{HAC}=\widehat{MBA};\widehat{A_1}=\widehat{D_1}=\widehat{AHE}=\widehat{MCA}\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{ACM}\Rightarrow\Delta ACM\)cân tại M \(\Rightarrow MA=MC\)(*)

Do \(\Delta AID\)vuông tại I suy ra 

\(\widehat{DAM}+\widehat{D_1}=90^0\Leftrightarrow\widehat{DAM}+\widehat{DAH}=90^0\left(1\right)\)

\(\widehat{ABM}+\widehat{DAH}=90^0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DAM}=\widehat{ABM}\)

\(\Rightarrow\Delta ABM\)cân tại M \(\Rightarrow MA=MB\)(**)

Từ (*);(**) suy ra MB=MC hay M là trung điểm BC . Do MF//AC suy ra 

\(\widehat{MFC}=\widehat{ACF}\)

Mà 

5 tháng 2 2020

\(\widehat{ACF}=\widehat{MCF}\Rightarrow\widehat{MFC}=\widehat{MCF}\Rightarrow\Delta MFC\)cân tại M suy ra MC=MF

Mà MB=MC suy ra \(\Delta BFC\) có  FM là trung tuyến \(FM=\frac{1}{2}BC\Rightarrow\)  \(\Delta BFC\)vuông tại F hay  \(BF\perp CF\left(đpcm\right)\)