Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
M A B C I D N O H K
a) CM: \(\widehat{OBM}=\widehat{ODC}\)
\(\widehat{OBM}+\widehat{OBC}=180^o\)( kề bù)
\(\widehat{ODC}+\widehat{OBC}=180^o\)( tứ giác ODCB nội tiếp )
=> \(\widehat{OBM}=\widehat{ODC}\)
b)
+)Xét tam giác MCN có CO là tia phân giác đồng thời là đường cao
=> Tam giác CMN cân tại C (1)
=> \(\widehat{BMA}=\widehat{DNA}=\widehat{BAM}\)( CD//BA => DN//BA)
=> Tam giác BMA cân tại B
=> BM=BA=CD ( ABCD là hình bình hành) (2)
+) CO là phân giác \(\widehat{BCD}\)
=> \(\widebat{BO}=\widebat{DO}\)
=> BO=DO (3)
+) Xét tam giác BOM và tam giác DOC có:
\(\widehat{OBM}=\widehat{ODC}\)( theo a)
BM=CD ( theo 2)
BO=DO (theo 3)
=> \(\Delta BOM=\Delta DOC\)
+) OM=OC
Và từ (1) => CO là đường trung trực của MN
=> OM=ON
Vậy OM=ON=OC
=> O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN
c) GỌi H là giao của IO và BD
=> IH vuông BD và H là trung điể m BD
Ta có: \(KD^2=\left(HD-HK\right)^2=HD^2+HK^2-2.HD.HK=ID^2-IH^2+IK^2-IH^2-2HD\left(HD-KD\right)\)
\(=ID^2+IK^2-2\left(IH^2+HD^2\right)+2HD.KD=ID^2+IK^2-2ID^2+2HD.KD\)
\(=IK^2-ID^2+2HD.KD\)
=> \(IB^2-IK^2=ID^2-IK^2=2HD.KD-KD^2\)
=> \(\frac{IB^2-IK^2}{KD^2}=\frac{2HD-KD}{KD}=\frac{BD-KD}{KD}=\frac{BK}{KD}\)(4)
Ta lại có: CK là phân giác trong của tam giác CBD
=> \(\frac{BK}{KD}=\frac{CB}{CD}\)
Và MB=DC ( theo cm câu a) , CM=CN ( Tam giác CMN cân)
=> CB=DN
=> \(\frac{BK}{KD}=\frac{DN}{MB}\)(5)
Từ (4), (5)
=> ĐPCM
Cho BG cắt AC tại N, CG cắt AB tại P. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt CF,AF tại I,J. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt EB,EA tại D,H
\(\Delta BCA\)và \(\Delta CDB\)có : \(\widehat{ABC}=\widehat{BCD}\left(slt\right);\widehat{BAC}=\widehat{CBD}\)(góc tạo bởi tiếp tuyến & dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên \(\Delta BCA\infty\Delta CDB\left(g.g\right)\). Suy ra : \(\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{BC}\Leftrightarrow BC^2=AB.CD\left(1\right)\)
\(\Delta BCA\)và \(\Delta IBC\)có : \(\widehat{BCA}=\widehat{IBC}\left(slt\right);\widehat{BAC}=\widehat{ICB}\)(góc tạo bởi tiếp tuyến & dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên \(\Delta BCA\infty\Delta IBC\left(g.g\right)\). Suy ra : \(\frac{BC}{IB}=\frac{CA}{BC}\Leftrightarrow BC^2=IB.CA\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow AB.CD=IB.CA\Leftrightarrow\frac{AB}{BI}=\frac{AC}{CD}\)
Áp dụng hệ quả định lí Talet : AC // IJ\(\Rightarrow\frac{AN}{JB}=\frac{FN}{FB}=\frac{CN}{BI}\Rightarrow BJ=BI\)(vì AN = CN)
AB // DH\(\Rightarrow\frac{PB}{CD}=\frac{EP}{EC}=\frac{AP}{HC}\Rightarrow CD=HC\)(vì PB = AP)
\(\frac{AB}{BI}=\frac{AC}{CD}\Leftrightarrow\frac{AB}{BJ}=\frac{AC}{CH}\). \(\widehat{JBA}=\widehat{CAB};\widehat{CAB}=\widehat{ACH}\left(slt\right)\Rightarrow\widehat{JBA}=\widehat{ACH}\)
\(\Delta ABJ,\Delta ACH\)có \(\widehat{JBA}=\widehat{HCA};\frac{AB}{BJ}=\frac{AC}{CH}\Rightarrow\Delta ABJ\infty\Delta ACH\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AJB\:}=\widehat{AHC}\)
Mà \(\widehat{AJB\:}=\widehat{FAC};\widehat{AHC}=\widehat{EAB}\)(đồng vị) nên \(\widehat{EAB}=\widehat{FAC}\)
P/S : - Bài này là câu 7 của đề thi HSG Toán 9 Đà Nẵng 2017 - 2018 vào ngày 1/3 vừa qua. Mình bí bài này nhưng đã nhận được đáp án đề thi và muốn đưa bài giải cho mọi người tham khảo
- Link đáp án : www.facebook.com/toaji.phan/posts/595746860776994?pnref=story
- Link hình : www.facebook.com/toanhockhocothayanh/photos/a.258465918014842.1073741829.258088654719235/295108181017282/?type=3&theater
a/ Gọi D là trung điểm BC; E là trung điểm AC
Từ D dựng đường thẳng vuông góc với BC
Từ E dựng đường thẳng vuông góc với AC
Hai đường thẳng trên cắt nhau tại O là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC (Trong tg 3 đường trung trực đồng quy tại 1 điểm và điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác)
Ta có \(AH=2.OD\Rightarrow\frac{OD}{AH}=\frac{1}{2}\) (trong tg khoảng cách từ 1 đỉnh đến trực tâm bằng 2 lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện) (Bạn phải c/m bài toán phụ trên, bạn tự tham khảo trên mạng nhé)
Ta có \(AH\perp BC;OD\perp BC\) => OD // AH
\(\Rightarrow\frac{OG}{HG}=\frac{OD}{AH}=\frac{1}{2}\) (Talet trong tam giác) \(\Rightarrow HG=2.OG\left(dpcm\right)\)
Xin lỗi trên là câu b
Câu a
Nối AD cắt HO tại G đến đoạn cm được \(\frac{OD}{AH}=\frac{1}{2}\) và OD//AH
\(\Rightarrow\frac{GD}{GA}=\frac{OD}{AH}=\frac{1}{2}\) => G là trọng tâm của tg ABC => H, G, O thẳng hàng