Câu hỏi của Jelly303

Question

Cho dãy un xác định: $\left\{{}\begin{matrix}u_1=\sqrt{2}\u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\end{matrix}\right.\forall n\in N^{\cdot}$. Xác định số hạng tổng quát của dãy, xét tính tăng giảm của dãy đó.

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Dãy đã cho hiển nhiên là dãy dươngTa sẽ chứng minh dãy đã cho bị chặn trên bởi 2 hay $u_n\le2$ với mọi n- Với $n=1\Rightarrow u_1=\sqrt{2}< 2$ (đúng)- Giả sử điều đó đúng với $n=k\ge1$ hay $u_k\le2$- Ta cần chứng minh với  $n=k+1$ cũng đúngHay $u_{k+1}\le2$Ta có: $u_{k+1}=\sqrt{2+u_k}\le\sqrt{2+2}=2$ (đpcm)Vậy $u_n\le2$Đặt $v_n=\dfrac{1}{2}u_n\Rightarrow0< v_n\le1$ và $\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\2v_{n+1}=\sqrt{2+2v_n}\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow4v_{n+1}^2=2+2v_n\Rightarrow v_n=2v_{n+1}^2-1$Do $0< v_n\le1$ , đặt $v_n=cos\left(x_n\right)$ với $x_n\in\left(0;\pi\right)$$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{\pi}{4}\cos\left(x_n\right)=2cos^2\left(x_{n+1}\right)-1=cos\left(2x_{n+1}\right)\end{matrix}\right.$$\Rightarrow x_n=2x_{n+1}\Rightarrow x_{n+1}=\dfrac{1}{2}x_n$$\Rightarrow x_n$ là CSN với công bội $\dfrac{1}{2}$$\Rightarrow x_n=\dfrac{\pi}{4}.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{\pi}{2^{n+1}}$$\Rightarrow v_n=cos\left(x_n\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)$$\Rightarrow u_n=2v_n=2cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)$Dãy $\dfrac{\pi}{2^{n+1}}$ giảm và thuộc $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ nên $cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)$ tăngDo đó dãy số đã cho là dãy tăng.P/s: đây là cách làm hoàn chỉnh có thứ tự (nhược điểm là rất dài). Có 1 cách khác đơn giản hơn là bằng 1 phép màu nào đó ngay từ đầu bạn đưa ra ngay dự đoán công thức tổng quát của dãy số là $2cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)$ rồi chứng minh nó bằng quy nạp cũng được. Như vậy sẽ rất ngắn, cả bài chỉ 4-5 dòng nhưng lời giải hơi đột ngộtCâu trả lời: Dãy đã cho hiển nhiên là dãy dươngTa sẽ chứng minh dãy đã cho bị chặn trên bởi 2 hay $u_n\le2$ với mọi n- Với $n=1\Rightarrow u_1=\sqrt{2}< 2$ (đúng)- Giả sử điều đó đúng với $n=k\ge1$ hay $u_k\le2$- Ta cần chứng minh với  $n=k+1$ cũng đúngHay $u_{k+1}\le2$Ta có: $u_{k+1}=\sqrt{2+u_k}\le\sqrt{2+2}=2$ (đpcm)Vậy $u_n\le2$Đặt $v_n=\dfrac{1}{2}u_n\Rightarrow0< v_n\le1$ và $\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\2v_{n+1}=\sqrt{2+2v_n}\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow4v_{n+1}^2=2+2v_n\Rightarrow v_n=2v_{n+1}^2-1$Do $0< v_n\le1$ , đặt $v_n=cos\left(x_n\right)$ với $x_n\in\left(0;\pi\right)$$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{\pi}{4}\cos\left(x_n\right)=2cos^2\left(x_{n+1}\right)-1=cos\left(2x_{n+1}\right)\end{matrix}\right.$$\Rightarrow x_n=2x_{n+1}\Rightarrow x_{n+1}=\dfrac{1}{2}x_n$$\Rightarrow x_n$ là CSN với công bội $\dfrac{1}{2}$$\Rightarrow x_n=\dfrac{\pi}{4}.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{\pi}{2^{n+1}}$$\Rightarrow v_n=cos\left(x_n\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)$$\Rightarrow u_n=2v_n=2cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)$Dãy $\dfrac{\pi}{2^{n+1}}$ giảm và thuộc $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ nên $cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)$ tăngDo đó dãy số đã cho là dãy tăng.P/s: đây là cách làm hoàn chỉnh có thứ tự (nhược điểm là rất dài). Có 1 cách khác đơn giản hơn là bằng 1 phép màu nào đó ngay từ đầu bạn đưa ra ngay dự đoán công thức tổng quát của dãy số là $2cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)$ rồi chứng minh nó bằng quy nạp cũng được. Như vậy sẽ rất ngắn, cả bài chỉ 4-5 dòng nhưng lời giải hơi đột ngột

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP