Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gỉa sử ba số a,b,c là ba số bất kì được chọn mà a+b,b+c,a+c đều chia hết cho 28.
Xét hai trường hợp:
TH1:
Trong ba số a,b,c có ít nhất một số chia hết cho 28. Khi đó hai số kia cũng phải chia hết cho 28. Do đó cả ba số chia hết cho 28.
Ta có 2017:28 = 72 (dư 1).
Như vậy nếu ta chọn trong dãy các số 28, 28.2; 28.3;....;28.72 thì ta chọn được nhiều nhất 72 số.
TH2:
Trong ba số a, b, c không có số nào chia hết cho 28.
Gọi số dư của 3 số khi chia cho 28 là x, y, z.
Do a + b; b + c; c + a chia hết cho 28 nên x + y = y + z = z + x = 28. Suy ra x = y = z = 14.
Do đó mỗi số a, b, c chia 28 dư 14.
Ta có 2017 : 14 = 144 (dư 1)
Như vậy nếu ta chọn trong dãy các số:14; 14.3;14. 5;......; 14.143.
Thì ta chọn nhiều nhất 73 số.
So sánh hai trường hợp ta chọn được nhiều nhất 73 số thỏa mãn bài toán.
Xét các số :2016;20162016;..........;2016;...;2016(2018 số 2016)
Có 2018 số nên chia cho 2017 có ít nhất 2 số đồng dư
Giả sử số đó là 2016..........2016 (m số 2016) và 2016.......2016(n số 2016) (m;n E N m>n)
Suy ra 2016.........2016-2016.......2016 chia hết cho 2017
m số 2016 n số 2016
Suy ra 2016...........2016x1000
m-n số 2016
Mà (1000 n ;2017)=1
Suy ra 2016.......2016 chia hết cho 2017(m-n số 2016) (đpcm)
Ta chứng minh trong 2003 số nguyên dương đã cho chỉ nhận nhiều nhất 4 giá tri khác nhau.
Thật vậy giả sử trong các số đã cho có nhiều hơn 4 chữ số khác nhau, giả sử \(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\)là 5 số khác nhau bất kì. Không mất tính tổng quát giả sử
\(a_1< a_2< a_3< a_4< a_5\)(1)
Theo đầu bài \(a_1a_2=a_3a_4\)(2)
Theo (1) không xảy ra \(a_1a_2=a_3a_4\)hoặc\(a_1a_3=a_2a_4.\)
Tương tự 4 số khác nhau \(a_1,a_2,a_3,a_5\)thì \(a_1a_5=a_2a_3\)(3).
Từ (2) và (3) suy ra \(a_4=a_5.\)Mâu thuẫn.
Vậy trong 2003 số nguyên dương đã cho không thể có hơn 4 số khác nhau. Mà 2003 = 4.500 + 3.
Do đó trong 2003 số tự nhiên dương đã cho luôn tìm được ít nhất 500 + 1 = 501 số bằng nhau.