Question

[Huỳnh Mỹ Diễm Trinh]

Cho ΔABC có AB=AC.Trên tia đối AB lấy điểm D sao cho AB=AD.Gọi M trên BC sao cho BM=MC.Gọi N trên CD sao cho NC = ND

a) chứng minh AM⊥AN

b) AN // BC 

c) góc BCD = 90°

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Ta có: B,A,D thẳng hàng(gt)

mà AB=AD(gt)

nên A là trung điểm của BD

Ta có: B,M,C thẳng hàng(gt)

mà BM=CM(gt)

nên M là trung điểm của BC

Ta có: D,N,C thẳng hàng(gt)

mà DN=NC(gt)

nên N là trung điểm của DC

Xét ΔDBC có 

A là trung điểm của BD(cmt)

M là trung điểm của BC(cmt)

Do đó: AM là đường trung bình của ΔDBC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒AM//DC và \(AM=\dfrac{DC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà N∈DC và \(CN=\dfrac{DC}{2}\)(N là trung điểm của DC)

nên AM//NC và AM=NC

Xét ΔABC có AB=AC(gt)

nên ΔABC cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC(M là trung điểm của BC)

nên AM là đường cao ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)

⇒AM⊥BC

⇒\(\widehat{AMC}=90^0\)

Xét tứ giác AMCN có 

AM//CN(cmt)

AM=CN(cmt)

Do đó: AMCN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AMCN có \(\widehat{AMC}=90^0\)(cmt)

nên AMCN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

⇒\(\widehat{MAN}=90^0\)

hay AM⊥AN(đpcm)

b) Xét ΔDBC có 

A là trung điểm của BD(cmt)

N là trung điểm của DC(cmt)

Do đó: AN là đường trung bình của ΔDBC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒AN//BC và \(AN=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(đpcm)

c) Ta có: A là trung điểm của BD(cmt)

nên \(AB=\dfrac{BD}{2}\)

mà AB=AC(gt)

nên \(CA=\dfrac{BD}{2}\)

Xét ΔBCD có 

CA là đường trung tuyến ứng với cạnh BD(A là trung điểm của BD)

\(CA=\dfrac{BD}{2}\)(cmt)

Do đó: ΔBCD vuông tại C(Định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

hay \(\widehat{BCD}=90^0\)(đpcm)