Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(2sinB.sinC=1+cosA\Leftrightarrow cos\left(B-C\right)-cos\left(B+C\right)=1+cosA\)
\(\Leftrightarrow cos\left(B-C\right)+cosA=1+cosA\)
\(\Leftrightarrow cos\left(B-C\right)=1\)
\(\Rightarrow B-C=0\Rightarrow B=C\)
\(sinA=\frac{cosA+cosB}{sinB+sinC}=\frac{cosA+cosB}{2sinB}\) (do \(B=C\))
\(\Leftrightarrow2sinA.sinB=cosA+cosB\)
\(\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)-cos\left(A+B\right)=cosA+cosB\)
\(\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)+cosC=cosA+cosB\)
\(\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)+cosB=cosA+cosB\)
\(\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)=cosB\)
\(\Rightarrow A-B=B\Rightarrow A=2B=B+C\)
Mà \(A+B+C=180^0\Rightarrow2A=180^0\Rightarrow A=90^0\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông cân tại A
cho tam giác ABC, chứng minh rằng: \(sinA+sinB-sinC=4.sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.cos\frac{C}{2}\)
\(sinA+sinB-sinC=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}-sinC\)
\(=2cos\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}-2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}\)
\(=2cos\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}-sin\frac{C}{2}\right)\)
\(=2cos\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}-cos\frac{A+B}{2}\right)\)
\(=4cos\frac{C}{2}sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}\)
TL:
sinA+sinB+sinC=1-cosA+cosB+cosC => Tam giác ABC Vuông tại A
Vế trái = sinA + sinB + sinC
= 2sin(A + B)/2.cos(A - B)/2 + 2sinC/2.cosC/2
= 2cosC/2.cos(A - B)/2 + 2sinC/2.cosC/2
= 2cosC/2[cos(A - B)/2 + sinC/2]
=2.cosC/2.[cos(A - B)/2 + cos(A + B)/2]
= 4.cosC/2.cosB/2.cosA/2
Vế phải = 1 - cosA + cosB + cosC
= 2sin²A/2 + 2cos(B + C)/2.cos(B - C)/2
= 2.sinA/2[sinA/2 + cos(B - C)/2] (vì cos(B + C)/2 = sinA/2)
= 2.sinA/2[cos(B + C)/2 + cos(B - C)/2
= 4.sinA/2.cosB/2.cosC/2
Vậy sinA + sinB + sinC = 1 - cosA + cosB + cosC
<=> cosA/2.cosB/2.cosC/2 = sinA/2.cosB/2.cosC/2
<=> cosB/2.cosC/2(sinA/2 - cosA/2) = 0
mà cosB/2 ≠ 0 và cosC/2 ≠ 0
=> sinA/2 = cosA/2
<=> A/2 = 45o
<=> A = 90o
tam giác ABC vuông tại A
\(cosA=2sin\frac{B+C}{2}.cos\frac{B-C}{2}-\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow cosA=2cos\frac{A}{2}.cos\frac{B-C}{2}-\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2cos^2\frac{A}{2}-1=2cos\frac{A}{2}cos\frac{B-C}{2}-\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow4cos^2\frac{A}{2}-4cos\frac{A}{2}cos\frac{B-C}{2}+1=0\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}cos\frac{A}{2}>0\\0< cos\frac{B-C}{2}\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow cos\frac{A}{2}.cos\frac{B-C}{2}\le cos\frac{A}{2}\)
\(\Rightarrow4cos^2\frac{A}{2}-4cos\frac{A}{2}+1\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(2cos\frac{A}{2}-1\right)^2\le0\)
BPT có nghiệm khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}2cos\frac{A}{2}-1=0\\B-C=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}cos\frac{A}{2}=\frac{1}{2}\\B=C\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=120^0\\B=C\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=120^0\\B=C=30^0\end{matrix}\right.\)