Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.Ta có: \(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab\)
\(=ac+bc+c^2+ab\)
\(=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\)
\(=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)
CMTT \(a+bc=\left(c+a\right)\left(b+c\right)\)
\(b+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)
Từ đó \(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)
Ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)\)( theo BĐT AM-GM)
CMTT\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}.3\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy /...
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{ab^2-b^2}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\)
\(=a+1-\frac{b\left(a+1\right)}{2}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)
Tương tự rồi cộng lại:
\(RHS\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)
\(\ge a+b+c+3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)
dạng này thì chỉ có quy đồng thôi nhé mặc dù quy đồng chưa ra
\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}\)
\(=\sqrt{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}=\sqrt{\frac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Áp dụng bđt Cô-si :
\(\sqrt{\frac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}}{2}\)
Chứng minh tương tự với các phân thức còn lại, cộng theo vế ta có :
\(VT\le\frac{\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{c+b}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)}{2}\)
\(=\frac{\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
a)Từ \(a+b+c\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3ab+3bc+3ca\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) *đúng*
Khi \(a=b=c\)
b)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự rồi cộng theo vế :
\(M\ge3-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Khi \(a=b=c=1\)
Từ \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\)
\(\Rightarrow\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)
Cho \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\) thì ta có:
\(x^2+y^2+z^2\ge3\forall\hept{\begin{cases}x+y+z+xy+yz+xz=6\\x,y,z>0\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\)
\(y^2+1\ge2\sqrt{y^2}=2y\)
\(z^2+1\ge2\sqrt{z^2}=2z\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\left(1\right)\)
Lại có BĐT quen thuộc \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\left(2\right)\)
Cộng theo vế của (1) và (2) ta có:
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\cdot6=12\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
GT của bài toán được viết lại thành\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)
áp dụng bđt Cauchy ta được
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab};\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc};\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\ge\frac{2}{ca}\)
\(\frac{1}{a^2}+1\ge\frac{2}{a};\frac{1}{b^2}+1\ge\frac{2}{b};\frac{1}{c^2}+1\ge\frac{2}{c}\)
cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được \(3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+3\ge2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2\cdot6=12\)
hay \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)
đẳng thức được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
1.
\(DK:x\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(3\sqrt{x-2}-3\right)+\left(3-\sqrt{x+6}\right)-\left(2x-6\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3\left(x-3\right)}{\sqrt{x-2}+3}-\frac{x-3}{3+\sqrt{x+6}}-2\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\frac{3}{\sqrt{x-2}+3}-\frac{1}{3+\sqrt{x+6}}-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\left(1\right)\\\frac{3}{\sqrt{x-2}+3}-\frac{1}{3+\sqrt{x+6}}-2=0\left(2\right)\end{cases}}\)
PT(2) khac khong voi moi \(x\ge2\)
Vay nghiem cua PT la \(x=3\)
\(x^3+2x=y^2-2009\)
\(\Leftrightarrow x^3-x=y^2-3x-2009\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)x\left(x+1\right)=y^2-3x-2009\)
Dễ thấy VT chia hết cho 3 nên VP chia hết cho 3
Suy ra \(y^2\) chia 3 dư 2 vì 2009 chia 3 dư 2 và 3x chia hết cho 3 ( vô lý vì số chính phương ko chia 3 dư 2 )
Vậy pt vô nghiệm
\(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự:
\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng lại:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{ab}{2}-\frac{bc}{2}-\frac{ca}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge a+b+c\)
Mặt khác:
\(\frac{9}{a+b+c}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\Rightarrow9\le3\left(a+b+c\right)\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Khi đó:
\(VT\ge a+b+c\ge3\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)
Bài tập về nha khi hok thêm trên thầy Diện đây mà:))
\(H=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\Rightarrow H^2=\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)^2\)
Áp dụng BĐT phụ \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
Khi đó:\(H^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\)
P/S:E ko chắc đâu nha:((
chỗ lập luận cuối cùng bạn làm sai rồi