Question

[Nguyễn Duy Thịnh]

Cho các số x,y,z khác 0 thỏa mãn đồng thời \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=2 và \(\frac{2}{xy}\)-\(\frac{1}{z^2}\)=4.

Tính giá trị biểu thức: P=\(\left(x+2y+z\right)^{2019}\)

Answer 1

[ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★]

\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}\)

Khai triển cả 2 vế ta được \(\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)^2=0\)

=>\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=0\end{cases}}\)=>\(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\Rightarrow x=y\)

=>\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{x}+\frac{1}{z}=2\Rightarrow\frac{4}{x^2}+\frac{4}{xz}+\frac{1}{z^2}=4\)(1)

\(\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=\frac{2}{x^2}-\frac{1}{z^2}=4\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra

\(\frac{2}{x^2}+\frac{4}{xz}+\frac{2}{z^2}=0\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{2}{xz}+\frac{1}{z^2}=0\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)^2=0\)\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow x=y=-z\)

=> \(P=\left(x+2y+z\right)^{2019}=\left(2y\right)^{2019}\)

Answer 2

[ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★]

à thêm cái này nữa. Sorry viết thiếu

Vì x=y=-z\(\Rightarrow\frac{2}{x}-\frac{1}{x}=2\Rightarrow\frac{1}{x}=2\Rightarrow x=\frac{1}{2}.\)

lúc đó  \(P=\left(2.\frac{1}{2}\right)^{2019}=1\)