Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} (x+y)^2=a\neq 0\\ xy=b\end{matrix}\right.\)
Dùng cách biến đổi tương đương.
Ta có: \(A=x^2+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=(x+y)^2-2xy+\frac{(xy+1)^2}{(x+y)^2}\)
\(A=a-2b+\frac{(b+1)^2}{a}\)
\(A\geq 2\Leftrightarrow a-2b+\frac{(b+1)^2}{a}\geq 2\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+(b+1)^2\geq 2a\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1-2ab+2b-2a\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (-a+b+1)^2\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(-a+b+1=0\Leftrightarrow x^2+y^2+xy=1\)
Bài 2:
Tìm GTLN: \(x^2+xy+y^2=3\Leftrightarrow xy=\left(x+y\right)^2-3\Rightarrow xy\ge-3\Rightarrow-7xy\le21\)
\(P=2\left(x^2+xy+y^2\right)-7xy\le2.3+21=27\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\xy=-3\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{3},y=-\sqrt{3}\\x=-\sqrt{3},y=\sqrt{3}\end{cases}}\)
Tìm GTNN:
Chứng minh \(xy\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\Rightarrow\frac{3}{2}xy\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+xy\right)\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}xy\le\frac{3}{2}\Rightarrow xy\le1\Rightarrow-7xy\ge-7\)
\(P=2\left(x^2+xy+y^2\right)-7xy\ge2.3-7=-1\)
Chúc bạn học tốt.
Làm bài 1 ha :)
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(\left(1-x^3\right)+\left(1-y^3\right)+\left(1-z^3\right)\ge3\sqrt[3]{\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3-\left(x^3+y^3+z^3\right)}{3}\ge\sqrt[3]{\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)}\)
Mặt khác:\(\frac{3-\left(x^3+y^3+z^3\right)}{3}\le\frac{3-3xyz}{3}=1-xyz\)
Khi đó:
\(\left(1-xyz\right)^3\ge\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)\)
Giống Holder ghê vậy ta :D
\(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(xy+1\right)+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\frac{2\left(x+y\right)\left(xy+1\right)}{\left(x+y\right)}+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2\ge0\) (đúng)
Vậy ...
-cách này khá dài dòng _._ (ko nghĩ đc cách ngắn hơn >: )
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy+yz+xz}{xyz}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-x.\left(y+z\right)=yz\\-y.\left(x+z\right)=xz\\-z.\left(x+y\right)=xy\end{cases}}\)
thay vào biểu thức P, ta có:
\(P=\left[\frac{-z.\left(y+x\right)}{z^2}+\frac{-x.\left(y+z\right)}{x^2}+\frac{-y.\left(x+z\right)}{y^2}-2\right]^{2013}\)
\(P=\left[\frac{-\left(y+x\right)}{z}+\frac{-\left(y+z\right)}{x}+\frac{-\left(x+z\right)}{y}-2\right]^{2013}\)
\(P=\left(\frac{-x^2y-xy^2-zy^2-yz^2-zx^2-xz^2}{xyz}-\frac{2xyz}{xyz}\right)^{2013}\)
\(P=\left[\left(\frac{-x^2y-zx^2}{xyz}\right)+\left(\frac{-xy^2-zy^2}{xyz}\right)+\left(\frac{-z^2y-xz^2}{xyz}\right)\right]\)
\(\text{Ta có: }-x^2y-zx^2=-x^2.\left(y+z\right),\text{mà }-x.\left(y+z\right)=yz\Rightarrow-x^2.\left(y+z\right)=xyz\)
tương tự: \(-xy^2-zy^2=xyz\text{ và }-z^2y-z^2x=xyz\)
\(\Rightarrow P=\left(\frac{3xyz-2xyz}{xyz}\right)^{2013}=1^{2013}=1\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\Rightarrow xy+yz+zx=0\Rightarrow x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3=3x^2y^2z^2\) (cách cm Câu hỏi của Arthur Conan Doyle - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath)
Vậy\(P=\left(\frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}-2\right)^{2013}=\left(\frac{x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3}{x^2y^2z^2}-2\right)^{2013}=\left(3-2\right)^{2013}=1\)
Hướng dẫn :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\Rightarrow xy+yz+zx=0\)
Thay vào:\(x^2+2yz=x^2+yz+yz=x^2+yz-xy-zx=x\left(x-y\right)-z\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x-z\right)\)
Tương tự thay vào mà quy đồng
thằng ngu lê anh tú ko biết gì thì im vào
Đặt \(\hept{\begin{cases}S=x+y\\P=xy\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^2+y^2=S^2-2P\)
Ta cần chứng minh \(S^2-2P+\left(\frac{P+1}{S}\right)^2\ge2\)
\(\Leftrightarrow S^2-2\left(P+1\right)+\left(\frac{P+1}{S}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow S^2-\frac{2S\left(P+1\right)}{S}+\left(\frac{P+1}{S}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(S-\frac{P+1}{S}\right)^2\ge0\) *luôn đúng*
Đề sai. a=0;b=0,1 ko đúng, sửa lại đề đi bn