Question

[Nguyễn Diệu Linh]

Cho các số tự nhiên a, b, c,d (a > b > c >d).

Chứng tỏ rằng tích của tất cả các hiệu của 2 số có thể lập được từ 4 số đó thì chia hết cho 12.

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

Trong bốn số \(a,b,c,d\)có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho \(3\), giả sử đó là \(a,b\).

Khi đó \(a-b\)chia hết cho \(3\).

Nếu bốn số \(a,b,c,d\)có hai số lẻ, hai số chẵn, khi đó giả sử hai số lẻ là \(a,b\)hai số chẵn là \(c,d\)thì \(a-b\)chia hết cho \(2\)và \(c-d\)chia hết cho \(2\).

Nếu bốn số \(a,b,c,d\)có ít nhất ba số có cùng tính chẵn lẻ, giả sử đó là \(a,b,c\)khi đó \(a-b\)chia hết cho \(2\)và \(a-c\)chia hết cho \(2\).

Do đó ở mọi trường hợp, tích của tất cả các hiệu của hai số sẽ chia hết cho \(3\times2\times2=12\).

Ta có đpcm.