Question

[Lê Tài Bảo Châu]

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(x+y+z=2\) , \(x^2+y^2+z^2=18\)và \(xyz=-1\)

Tính giá trị của \(S=\frac{1}{xy+z-1}+\frac{1}{yz+x-1}+\frac{1}{zx+y-1}\)

Answer 1

[Trần Phúc Khang]

Ta có \(xy+yz+xz=\frac{2^2-18}{2}=-7\)

 \(x+y+z=2\)=> \(z-1=-x-y+1\)

=> \(\frac{1}{xy+z-1}=\frac{1}{xy-x-y+1}=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)

Tương tự \(\frac{1}{yz+x-1}=\frac{1}{\left(y-1\right)\left(z-1\right)};\frac{1}{xz+y-1}=\frac{1}{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}\)

=> \(S=\frac{x+y+z-3}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}=-\frac{1}{xyz-\left(yz+xy+xz\right)+\left(x+y+z\right)-1}\)

                                                                 \(=\frac{-1}{-1+7+2-1}=-\frac{1}{7}\)

Vậy \(S=-\frac{1}{7}\)