Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(2\left(x^2+y^2\right)=1+xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=\frac{1+xy}{2}\)
\(P=7\left(x^4+y^4\right)+4x^2y^2\)
\(=7x^4+7y^4+4x^2y^2\)
\(\Rightarrow P=28x^3+28y^3+16xy\)
\(\Leftrightarrow P=0\Leftrightarrow28x^3+28y^3+16xy=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P_{Min}=15\) và \(Max_P=\frac{12}{33}\)
pt \(\Leftrightarrow\)\(x^4+2x^2y^2+y^4=2y^2-x^2+3\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(x^2+y^2\right)+1=-3x^2+4\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2+y^2-1\right)^2=-3x^2+4\le4\)
\(\Rightarrow\)\(-1\le x^2+y^2\le3\)
Lời giải:
Không mất tính tổng quát. Giả sử \(x\geq y\Rightarrow 2x\geq 2017\Rightarrow x\geq 1009\) (do \(x\) nguyên dương)
Thực hiện biến đổi P
\(P=x(x^2+y)+y(y^2+x)=(x^3+y^3)+2xy\)
\(\Leftrightarrow P=(x+y)(x^2-xy+y^2)+2xy\)
\(\Leftrightarrow P=2017(x^2-xy+y^2)+2xy=2017(x+y)^2-6049xy\)
\(\Leftrightarrow P=2017^3-6049xy=2017^3-6049x(2017-x)\)
\(\Leftrightarrow P=6049x^2-6049.2017xy+2017^3\)
Tìm max:
Tiếp tục biến đổi :\(P=6049(x-1)(x-2016)+2017^3-2016.6049\)
Vì \(x\) nguyên dương \(\Rightarrow x\geq 1\)
\(y\geq 1\Rightarrow x=2017-y\leq 2016\)
Do đó \((x-1)(x-2016)\leq 0\Rightarrow P\leq 2017^3-2016.6049\)
Vậy \((Max) P=2017^3-2016.6049\Leftrightarrow (x,y)=(2016,1)\) và hoán vị
Tìm min:
Biến đổi \(P=6049(x-1008)(x-1009)+2017^3-1008.1009.6049\)
Vì \(x\geq 1009\Rightarrow (x-1008)(x-1009)\geq 0\), do đó \(P\geq 2017^3-1008.1009.6049\)
Vậy \((Min)P=2017^3-6049.1008.1009\Leftrightarrow (x,y)=(1009,1008)\) và hoán vị.
\(\hept{\begin{cases}x+y\le2\\x^2+y^2+xy=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2-a\\x^2+y^2+xy=3\end{cases}\left(a\ge0\right)}}\)
Do đó: \(\hept{\begin{cases}x+y=2-a\\xy=\left(2-a\right)^2-3\end{cases}}\)
Điều kiện có nghiệm là: \(\Delta=S^2-4P\ge0\)và a>=0 nên 0 =<a =< 4
Ta có: \(T=x^2+y^2+xy-2xy=9-2\left(2-a\right)^2\)
=> \(Min_T=1\)khi x=1 và y=1 hoặc x=-1; y=-1
\(Max_T=9\)khi \(x=\sqrt{3};y=-\sqrt{3}\)hoặc \(x=-\sqrt{3};y=\sqrt{3}\)
Từ đề bài \(\Rightarrow4x^2+4y^2+4xy-24x-24y+44=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+y\right)^2-24x-12y+36+3y^2-12y+12-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+y-6\right)^2+3\left(y-2\right)^2-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+y-6\right)^2=4-3\left(y-2\right)^2\le4\forall x;y\)
\(\Leftrightarrow-2\le2x+y-6\le2\Rightarrow4\le2x+y\le8\)
Do đó \(4\le P\le8\)