Câu hỏi của Khương Vũ Phương Anh

Question

Cho các số thực x, y thỏa mãn: $x^2+y^2+xy-6\left(x+y\right)+11=0$

Tìm min và max của P = 2x + y

Đinh Đức Hùng · Accepted Answer

Từ đề bài $\Rightarrow4x^2+4y^2+4xy-24x-24y+44=0$

$\Leftrightarrow\left(2x+y\right)^2-24x-12y+36+3y^2-12y+12-4=0$

$\Leftrightarrow\left(2x+y-6\right)^2+3\left(y-2\right)^2-4=0$

$\Leftrightarrow\left(2x+y-6\right)^2=4-3\left(y-2\right)^2\le4\forall x;y$

$\Leftrightarrow-2\le2x+y-6\le2\Rightarrow4\le2x+y\le8$

Do đó $4\le P\le8$

Câu trả lời:

Từ đề bài $\Rightarrow4x^2+4y^2+4xy-24x-24y+44=0$

$\Leftrightarrow\left(2x+y\right)^2-24x-12y+36+3y^2-12y+12-4=0$

$\Leftrightarrow\left(2x+y-6\right)^2+3\left(y-2\right)^2-4=0$

$\Leftrightarrow\left(2x+y-6\right)^2=4-3\left(y-2\right)^2\le4\forall x;y$

$\Leftrightarrow-2\le2x+y-6\le2\Rightarrow4\le2x+y\le8$

Do đó $4\le P\le8$