Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sửa đề: a + 2b + 3c = 1
Xét: \(4x^2-4\left(2a+1\right)x+4a^2+192abc+=0\)
có: \(\Delta_1'=4\left(2a+1\right)^2-4\left(4a^2+192abc+1\right)=16a-768abc=16a\left(1-48bc\right)\)
Xét \(4x^2-4\left(2b+1\right)x+4b^2+96abc+1=0\)
có: \(\Delta_1'=4\left(2b+1\right)^2-4\left(4b^2+96abc+1\right)=16b-384abc=16b\left(1-24ac\right)\)
Ta lại xét: \(\left(1-48bc\right)+\left(1-24ac\right)=2-24c\left(a+2b\right)\)
\(=2-24c\left(1-3c\right)=2\left(36c^2-12c+1\right)=2\left(6c-1\right)^2\ge0\)với mọi c
=> Tồn tại ít nhất 1 trong 2 số: \(\left(1-48bc\right);\left(1-24ac\right)\) không âm
Vì a và b không âm
=> Tồn tại ít nhất 1 trong 2 số : \(16a\left(1-48bc\right);16b\left(1-24ac\right)\)không âm
=> Tồn tại it nhất 1 trong 2 \(\Delta_1';\Delta_2'\)không âm
=> Có ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm.
\(x^3+3x^2+3x+1+y^3+3y^3+3y+1+x+y+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+x+y+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)\right)+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+2=0\)
(phần trong ngoặc \(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\frac{\left(y+1\right)^2}{4}+\frac{3\left(y+1\right)^2}{4}+1\)
\(=\left(x+1-\frac{y+1}{4}\right)^2+\frac{3\left(y+1\right)^2}{4}+1\) luôn dương)
\(\Rightarrow x+y=-2\)
Mà \(xy>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\y< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x>0\\-y>0\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\frac{1}{-x}+\frac{1}{-y}\ge\frac{4}{-\left(x+y\right)}=2\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le-2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=-1\)
2/ \(x;y;z\ne0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{xz+yz+z^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz+yz+z^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{xy+yz+xz+z^2}{xyz\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\) dù trường hợp nào thì thay vào ta đều có \(B=0\)
3/ \(\Leftrightarrow mx-2x+my-y-1=0\)
\(\Leftrightarrow m\left(x+y\right)-\left(2x+y+1\right)=0\)
Gọi \(A\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà d đi qua
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+y_0=0\\2x_0+y_0+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=1\end{matrix}\right.\)
Vậy d luôn đi qua \(A\left(-1;1\right)\) với mọi m
Theo hệ thức vi ét ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{2m+4}{1}\\x_1x_2=\frac{2m+3}{1}\end{cases}}\)
\(\left(4x_1+1\right)\left(4x_2+1\right)=25\)
\(< =>16x_1x_2+4x_1+4x_2+1=25\)
\(< =>16\frac{2m+3}{1}+4\frac{2m+4}{1}=24\)
\(< =>32m+48+8m+16=24\)
\(< =>40m=24-64=-40\)
\(< =>m=-1\)
Ta có: \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{m+n}{mn}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow mn=2\left(m+n\right)\)
\(\Rightarrow2mn=4\left(m+n\right)\)
Từ Phương trình 1 lập \(\Delta_1\)
\(\Delta_1=m^2-4n\)
Phương trình 2 có \(\Delta_2=n^2-4m\)
lấy \(\Delta_1+\Delta_2\)
\(=m^2+n^2-4m-4n\)
\(=m^2-4\left(m+n\right)+n^2\)
\(=m^2-2mn+n^2\)
\(=\left(m-n\right)^2\ge0\)
vậy tồn tại delta1 hoặc delta 2 dương nên một trong 2 phương trình đã cho có ít nhất 1 phương trình có nghiệm
2) Do \(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}=2\\\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+1}=2-\left(\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\)
=\(\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
\(\dfrac{1}{a+1}=\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\) \(\ge\)\(2\sqrt{\dfrac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Tương tự ta được
\(\dfrac{1}{b+1}\ge2\sqrt{\dfrac{ca}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}}\)
\(\dfrac{1}{c+1}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)
Nhân vế theo vế của 3 BĐT cùng chiều ta được
\(\dfrac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)\(\ge\dfrac{8abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)
\(\Rightarrow abc\le\dfrac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
Bài 3 \(\hept{\begin{cases}x+y+xy=2+3\sqrt{2}\\x^2+y^2=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)+xy=2+3\sqrt{2}\\\left(x+y\right)^2-2xy=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}S+P=2+3\sqrt{2}\left(1\right)\\S^2-2P=6\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1)\(\Rightarrow P=2+3\sqrt{2}-S\)Thế P vào (2) rồi giải tiếp nhé. Mình lười lắm ^.^
pt \(x^2-2x+m=0\) (1) có \(\Delta'=\left(-1\right)^2-m=1-m\)
Để pt có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì \(\Delta'>0\)\(\Leftrightarrow\)\(m< 1\)
Ta có : \(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=1\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2}=1\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{\left(x_1x_2\right)^2}=1\) (*)
Theo Vi-et ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m\end{cases}}\)
(*) \(\Leftrightarrow\)\(\frac{2^2-2m}{m^2}=1\)\(\Leftrightarrow\)\(m^2+2m-4=0\) (2)
pt (2) có \(\Delta'=1^2-\left(-4\right)=5>0\)\(\Rightarrow\) pt có 2 nghiệm phân biệt \(\hept{\begin{cases}m_1=-1+\sqrt{5}\left(loai\right)\\m_2=-1-\sqrt{5}\left(tm\right)\end{cases}}\)
Vậy để \(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=1\) thì \(m=-1-\sqrt{5}\)
Thiếu 1 phương trình :
\(4x^2-4\left(2n+1\right)x+4n^2+96mnp+1=0\)