Question

[Huyền Trân]

Cho các số thực không âm a, b thỏa mãn a^200 + b^200 = a^201 + b ^201 = a^202 + b^202 Tính giá trị của biểu thức B= a^2019 + b^2020

Answer 1

[I don't need you]

ta có: a²⁰⁰ + b²⁰⁰ = a²⁰¹ + b²⁰¹ = a²⁰² + b²⁰²

-----> a²⁰⁰ + b²⁰⁰ + a²⁰² + b²⁰² = 2.a²⁰¹ + 2.b²⁰¹

-----> a²⁰⁰ - 2.a²⁰¹ + a²⁰² + b²⁰⁰ - 2.b²⁰¹ + b²⁰² = 0

----> a²⁰⁰.(1-a)² + b²⁰⁰. (1-b)² = 0

mà \(a^{200}.\left(1-a\right)^2\ge0;b^{200}.\left(1-b\right)^2\ge0.\)

a và b là các số thực không âm

----> (1-a)² = 0 ----> a = 1

(1-b)² = 0 ----> b= 1

----> B =a²⁰¹⁹ + b²⁰²⁰ = 1+1 = 2

Answer 2

[Kudo Shinichi]

GIẢI

\(a^{200}+b^{200}=a^{201}+b^{201}\)

\(\Rightarrow a^{200}\left(a-1\right)+b^{200}\left(b-1\right)=0\left(1\right)\)

\(a^{201}+b^{201}=a^{202}+b^{202}\)

\(\Rightarrow a^{201}\left(a-1\right)+b^{201}\left(b-1\right)=0\left(2\right)\)

Ta lấy ( 2 ) - ( 1 ) suy ra :
\(\left(a-1\right)\left(a^{201}-a^{200}\right)+\left(b-1\right)\left(b^{201}-b^{200}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^{200}\left(a-1\right)^2+b^{200}\left(b-1\right)^2=0\)

Ta thấy : \(a^{200}\left(a-1\right)^2\ge0;b^{200}\left(b-1\right)^2\ge0\) với mọi a , b 

Do đó để tổng của chúng bằng 0 thì :

\(a^{200}\left(a-1\right)^2=b^{200}\left(b-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a=0\) hoặc \(a=1\) ; \(b=0\) hoặc \(b=1\)

Suy ra \(\left(a,b\right)=\left(1,1\right);\left(0,0\right);\left(1,0\right);\left(0,1\right)\)

\(\Rightarrow B=a^{2019}+b^{2020}\) có thể nhận những giá trị \(0;2;1\)

Chúc bạn học tốt !!!