Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{x}{3-yz}+\frac{y}{3-zx}+\frac{z}{3-xy}\le\frac{x}{3-\frac{y^2+z^2}{2}}+\frac{y}{3-\frac{z^2+x^2}{2}}+\frac{z}{3-\frac{x^2+y^2}{2}}\)
\(=\frac{2x}{3+x^2}+\frac{2y}{3+y^2}+\frac{2z}{3+z^2}\le\frac{2x}{4\sqrt[4]{x^2}}+\frac{2y}{4\sqrt[4]{y^2}}+\frac{2z}{4\sqrt[4]{z^2}}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{\sqrt{y}}{2}+\frac{\sqrt{z}}{2}\le\frac{x^2+3}{8}+\frac{y^2+3}{8}+\frac{z^2+3}{8}\)
\(=\frac{3}{8}+\frac{9}{8}=\frac{3}{2}\)
cách khác: cũng đến chỗ <= sigma 2x/3+x^2
<= 2x/2(x+1) (do x^2+3=x^2+1+2>=2x+2) <= sigma x/x+1 = 3- sigma (1/x+1)
sigma 1/x+1 >= 9/x+y+z+3 dễ rồi
Ta có: \(\frac{x^2}{x^4+yz}\le\frac{x^2}{2\sqrt{x^4.yz}}=\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2\sqrt{yz}}\)(BĐt cosi) (1)
CMTT: \(\frac{y^2}{y^4+xz}\le\frac{1}{2\sqrt{xz}}\) (2)
\(\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)(3)
Từ (1); (2) và (3) =>A = \(\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\)
Áp dụng bđt \(ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\)
cmt đúng: <=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Khi đó: A \(\le\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{xy+yz+xz}{xyz}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=\frac{3xyz}{2xyz}=\frac{3}{2}\)
Đặt \(\left(a,b,c\right)=\left(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}\right)\).
Xét 4 số m, n, p, q. Ta sẽ chứng minh \(\left(m+n+p+q\right)^2\le4\left(m^2+n^2+p^2+q^2\right)\) (*)
Thật vậy:
(*) \(\Leftrightarrow2\left(mn+np+pq+qm+mp+nq\right)\le3\left(m^2+n^2+p^2+q^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(m-n\right)^2+\left(n-p\right)^2+\left(p-q\right)^2+\left(q-m\right)^2+\left(m-p\right)^2+\left(n-q\right)^2\ge0\) (luôn đúng).
Từ đó: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}\right)^2=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{z}\right)^2\le4\left(x+y+z+z\right)=4\left(x+y+2z\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}\le2\sqrt{x+y+2z}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}=\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x+y+2z}}\le\frac{2\sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}}=\frac{2ab}{a+b+2c}\le\frac{1}{2}ab\frac{4}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{2}ab\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự, ta có:
\(\sum\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}\le\frac{1}{2}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{2}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{c+a}\right)=\frac{1}{2}\sum a=\frac{1}{2}\)
Đặt \(a=\sqrt{\frac{yz}{x}},b=\sqrt{\frac{zx}{y}},c=\sqrt{\frac{xy}{z}}\) \(\Rightarrow ab+bc+ac=1\)
Suy ra bài toán trở về dạng chứng minh \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\le\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{a^2}{a^2+1}+1-\frac{b^2}{b^2+1}+1-\frac{c^2}{c^2+1}\le\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\ge\frac{3}{4}\)(*)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3}\)
Đặt t = a+b+c \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=t^2-2\)
Ta cần chứng minh \(\frac{t^2}{t^2+1}\ge\frac{3}{4}\Leftrightarrow4t^2\ge3t^2+3\Rightarrow t^2\ge3\)(Luôn đúng vì \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)=3\))
Vậy ta có đpcm
Để câu trả lời của bạn nhanh chóng được duyệt và hiển thị, hãy gửi câu trả lời đầy đủ và không nên: