Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Khôi Bùi , DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG, Mysterious Person, Phạm Hoàng Giang, Phùng Khánh Linh, TRẦN MINH HOÀNG, Dũng Nguyễn, Nhã Doanh, hattori heiji, ...
a: \(A=\dfrac{\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{y}+y\sqrt{x}+\sqrt{x}-x\sqrt{y}-\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{1-xy}:\dfrac{1-xy+x+y+2xy}{1-xy}\)
\(=\dfrac{2\sqrt{x}+2y\sqrt{x}}{x+y+xy+1}\)
\(=\dfrac{2\sqrt{x}\left(y+1\right)}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\dfrac{2\sqrt{x}}{x+1}\)
b: \(x=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1\)
\(A=\dfrac{2\sqrt{\sqrt{2}-1}}{\sqrt{2}-1+1}=\sqrt{2\left(\sqrt{2}-1\right)}\)
Bài 1: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(1+x\ge2\sqrt{x}\)
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+1\ge2\sqrt{y}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(2\left(1+x+y\right)\ge2\left(\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\right)\)
\(1+x+y\ge\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\Leftrightarrow VT\ge VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}1+x=2\sqrt{x}\\x+y=2\sqrt{xy}\\y+1=2\sqrt{y}\end{cases}}\Rightarrow x=y=1\)
Khi đó \(S=x^{2013}+y^{2013}=1^{2013}+1^{2013}=2\)
Bài 2: Vì \(\hept{\begin{cases}x,y,z\in\left[-1;3\right]\\x+y+z=3\end{cases}}\) nên
\(0\le\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)+\left(3-x\right)\left(3-y\right)\left(3-z\right)\)
\(\Leftrightarrow0\le4\left(xy+yz+xz\right)-8\left(x+y+z\right)+28\)
\(\Leftrightarrow0\le2\left(xy+yz+xz\right)+2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)+2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le\left(x+y+z\right)^2+2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le3^2+2=9+2=11\)
Mysterious Person, Nguyễn Thanh Hằng, Dương Nguyễn, @Nk>↑@, Ngô Thành Chung, Khôi Bùi , Trần Nguyễn Bảo Quyên, Tạ Thị Diễm Quỳnh, Fa Châu De, Nguyễn Quang Minh, Khánh Như Trương Ngọc, JakiNatsumi, DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG, Phùng Khánh Linh, Hoàng Phong, ...
Chắc mấy người khác giúp được đấy chớ bài này ngoài tầm kiểm soát của tớ rồi.
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=x+2011\\b=y+2011\\c=z+2011\end{cases}}\) Ta có Hệ:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+2}\left(A\right)=\sqrt{b}+\sqrt{c+1}+\sqrt{a+2}\left(B\right)\\\sqrt{b}+\sqrt{c+1}+\sqrt{a+2}\left(B\right)=\sqrt{c}+\sqrt{a+1}+\sqrt{b+2}\left(C\right)\end{cases}}\)
Vai trò \(x,y,z\) bình đẳng
Giả sử \(c=Max\left(a;b;c\right)\) vì \(A=C\) ta có:
\(\sqrt{a}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+2}=\sqrt{c}+\sqrt{a+1}+\sqrt{b+2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\right)+\left(\sqrt{b+2}-\sqrt{b+1}\right)\)
\(=\sqrt{c+2}-\sqrt{c}=\left(\sqrt{c+2}-\sqrt{c+1}\right)+\left(\sqrt{c+1}-\sqrt{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b+2}+\sqrt{b+1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{c+2}+\sqrt{c+1}}+\frac{1}{\sqrt{c+1}+\sqrt{c}}\left(1\right)\)
Mặt khác \(\hept{\begin{cases}c\ge a\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}\le\frac{1}{\sqrt{c+1}+\sqrt{c}}\\c\ge b\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{b+2}+\sqrt{b+1}}\le\frac{1}{\sqrt{c+2}+\sqrt{c+1}}\end{cases}}\)
Suy ra \(\left(1\right)\) xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z\) (Đpcm)
pt đã cho <=>\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)-2\left(x+y\right)-\left(x+y+2\sqrt{xy}\right)+2\sqrt{xy}+4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-4=0\)
<=>\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x+y\right)-\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-2\left(x+y\right)+2\sqrt{xy}-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2\right)^2=0\)
<=>\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2\right)\left(x+y-\sqrt{xy}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2\right)=0\)
<=>\(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\\x+y-\sqrt{xy}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0\end{cases}}\)
th2: nhân cả hai vế với 2 ta được
\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y}-1\right)^2+2>0\)
=>th2 vô nghiệm
do đó M=\(\sqrt{xy}\)
áp dụng bdt cô si ta có \(\sqrt{x}+\sqrt{y}>=2\sqrt{\sqrt{xy}}\)
<=>1>=\(\sqrt{\sqrt{xy}}\)(do \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\))
<=>\(\sqrt{xy}< =1\)
<=>M<=1
Hình như đề sai rùi bạn ơi !
Phải sửa xy/x^2+y^2 thành x^2+y^2/xy hoặc cái gì khác
Vì xy/x^2+y^2 chỉ có GTLN chứ ko có GTNN đâu
Mk nói có gì sai thì thông cảm nha !
Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy
Giả sử z là số lớn nhất trong 3 số
Từ đề bài ta có:
\(\sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013}=\sqrt{z+2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2012}-\sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2013}-\sqrt{y+2012}=\sqrt{z+2012}-\sqrt{z+2011}+\sqrt{z+2013}-\sqrt{z+2012}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x+2012}+\sqrt{x+2011}}+\frac{1}{\sqrt{y+2013}+\sqrt{y+2012}}=\frac{1}{\sqrt{z+2012}+\sqrt{z+2011}}+\frac{1}{\sqrt{z+2013}+\sqrt{z+2012}}\)
Ta lại có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x+2012}+\sqrt{x+2011}}\ge\frac{1}{\sqrt{z+2012}+\sqrt{z+2011}}\\\frac{1}{\sqrt{y+2013}+\sqrt{y+2012}}\ge\frac{1}{\sqrt{z+2013}+\sqrt{z+2012}}\end{cases}}\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z
Tương tự cho trường hợp x lớn nhất với y lớn nhất.
fdy 'rshniytguo;yhuyt65edip;ioy86fo87ogtb eubuiltgr6sdwjhytguyh8 ban oi bai nay mac kho giai vao cut sit
từ cái đầu=>x-xy+y-xy=(1-x)(1-y)
<=>x+y-2xy=xy-x-y+1
<=>2(x+y)=3xy+1
\(\Leftrightarrow x+y=\frac{3xy+1}{2}\)
\(\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\left(x+y\right)^2-3xy}=\sqrt{\frac{9x^2y^2+6xy+1}{4}-3xy}=\sqrt{\frac{9x^2y^2-6xy+1}{4}}=\sqrt{\left(\frac{3xy-1}{2}\right)^2}\)với 3xy-1>0
\(\Rightarrow P=\frac{3xy+1}{2}+\frac{3xy-1}{2}=3xy\)
với 3xy-1<(=)0
\(\Rightarrow P=\frac{3xy+1}{2}+\frac{1-3xy}{2}=1\)
Ta có
\(2+2x+2y=2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x=y=1\)
\(\Rightarrow x^{2013}+y^{2013}=1+1=2\)
\(2+2x+2y=2\sqrt{x}+2\sqrt{xy}+2\sqrt{y}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-2\sqrt{y}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=1\\\sqrt{y}=1\\\sqrt{x}-\sqrt{y}=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow x^{2013}+y^{2013}=1+1=2\)