Câu hỏi của mai love N

Question

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{y^2}+1}+\dfrac{1}{z^2+1}\le\dfrac{3}{\sqrt{2}}$

Trần Hùng Minh · Accepted Answer

Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :

1(x+1)2+x+18+x+18≥33√164=341(�+1)2+�+18+�+18≥31643=34

=> 1(x+1)2≥34−x+141(�+1)2≥34−�+14 (1)

Dấu '' = '' xảy ra khi x = 1

CM tương tự ra có " 1(y+1)2≥34−y+141(�+1)2≥34−�+14(2) ; 1(z+1)2≥34−z+141(�+1)2≥34−�+14 (3)

Dấu ''= '' xảy ra khi y = 1 ; z = 1

Từ (1) (2) và (3) => 1(x+1)2+1(y+1)2+1(z+1)2≥34⋅3−x+y+z+341(�+1)2+1(�+1)2+1(�+1)2≥34⋅3−�+�+�+34≥94−33√xyz+34=94−64=34≥94−3���3+34=94−64=34

BĐT được chứng minh

Dấu '' = '' của bất đẳng thức xảy ra khi x =y =z = 1

:()Câu trả lời: Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :