Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài này thì chia 2 vế của giả thiết cho z2 ta thu được:
\(\frac{x}{z}+2.\frac{x}{z}.\frac{y}{z}+\frac{y}{z}=4\Leftrightarrow a+2ab+b=4\)
(đặt \(a=\frac{x}{z};b=\frac{y}{z}\)).Mà ta có: \(4=a+2ab+b\le a+b+\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\Rightarrow a+b\ge2\) Lại có:
\(P=\frac{\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)^2}{\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)^2+\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)}+\frac{3}{2}.\frac{1}{\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+1\right)^2}\) (chia lần lượt cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho z2)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)}+\frac{3}{2\left(a+b+1\right)^2}\).. Tiếp tục đặt \(t=a+b\ge2\) thu được:
\(P=\frac{t}{\left(t+1\right)}+\frac{3}{2\left(t+1\right)^2}=\frac{2t\left(t+1\right)+3}{2\left(t+1\right)^2}\)\(=\frac{2t^2+2t+3}{2\left(t+1\right)^2}-\frac{5}{6}+\frac{5}{6}\)
\(=\frac{2\left(t-2\right)^2}{12\left(t+1\right)^2}+\frac{5}{6}\ge\frac{5}{6}\)
Vậy...
P/s: check xem em có tính sai chỗ nào không:v
Do \(x;y\in\left[0;2\right]\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(2-x\right)\ge0\\y\left(2-y\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2x^2+4y^2\le4x+8y\)
\(P\le3^0+5^0+3^z+4\left(x+2y\right)=2+3^z+4\left(6-z\right)=3^z-4z+26\)
Xét hàm \(f\left(z\right)=3^z-4z+26\) trên \(\left[0;2\right]\)
\(f'\left(z\right)=3^z.ln3-4=0\Rightarrow z=log_3\left(\dfrac{4}{ln3}\right)=a\)
\(f\left(0\right)=27\) ; \(f\left(2\right)=27\); \(f\left(a\right)\approx-1,1\)
\(\Rightarrow f\left(z\right)\le27\Rightarrow maxP=27\)
(Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;2;2\right)\))
Ồ mà khoan, bài trước bị nhầm lẫn ở chỗ \(3^{2x-x^2}+5^{2y-y^2}\ge3^0+5^0\) mới đúng, ko để ý bị ngược dấu đoạn này
Vậy giải cách khác:
\(0\le x;y;z\le2\Rightarrow x\left(2-x\right)\ge0\Rightarrow2x-x^2\ge0\)
Lại có: \(2x-x^2=1-\left(x-1\right)^2\le1\)
\(\Rightarrow0\le2x-x^2\le1\)
Tương tự ta có: \(0\le2y-y^2\le1\)
Xét hàm: \(f\left(t\right)=3^t-2t\) trên \(\left[0;1\right]\)
\(f'\left(t\right)=3^t.ln3-2=0\Rightarrow t=log_3\left(\dfrac{2}{ln3}\right)=a\)
\(f\left(0\right)=1;\) \(f\left(1\right)=1\) ; \(f\left(a\right)\approx0,73\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\le1\Rightarrow3^t-2t\le1\Rightarrow3^t\le2t+1\)
\(\Rightarrow3^{2x-x^2}\le2\left(2x-x^2\right)+1\)
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được:
\(5^t\le4t+1\) với \(t\in\left[0;1\right]\Rightarrow5^{2y-y^2}\le4\left(2y-y^2\right)+1\)
\(3^t\le4t+1\) với \(t\in\left[0;2\right]\Rightarrow3^z\le4z+1\)
\(\Rightarrow P\le2\left(2x-x^2\right)+4\left(2y-y^2\right)+4z+3+2x^2+4y^2=4\left(x+2y+z\right)+3=27\)
Lần này thì ko sai được rồi
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2^x=a\\3^y=b\\4^z=c\end{matrix}\right.\) (với \(a;b;c>0\)) \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}\)
Gọi \(M\left(a;b;c\right)\) thì M thuộc mặt cầu tâm \(I\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) bán kính \(R=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(T=2^{x+1}+3^{y+1}+4^{z+1}=2.2^x+3.3^y+4.4^z=2a+3b+4c\)
\(\Rightarrow2a+3b+4c-T=0\)
Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi có phương trình \(2x+3y+4z-T=0\)
\(\Rightarrow M\in\left(P\right)\Rightarrow M\) thuộc giao của mặt cầu và (P)
Mà mặt cầu giao với (P) khi và chỉ khi:
\(d\left(I;\left(P\right)\right)\le R\Leftrightarrow\frac{\left|2.\frac{1}{2}+3.\frac{1}{2}+4.\frac{1}{2}-T\right|}{\sqrt{2^2+3^2+4^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left|T-\frac{9}{2}\right|\le\frac{\sqrt{87}}{2}\) \(\Rightarrow\frac{-\sqrt{87}}{2}\le T-\frac{9}{2}\le\frac{\sqrt{87}}{2}\)
\(\Rightarrow T\le\frac{9+\sqrt{87}}{2}\)
Đặt \(\left(\dfrac{x}{6};\dfrac{y}{3};\dfrac{z}{2}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow2^{6a}+4^{3b}+8^{2c}=4\)
\(\Leftrightarrow64^a+64^b+64^c=4\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(4=64^a+64^b+64^c\ge3\sqrt[3]{64^{a+b+c}}\Rightarrow64^{a+b+c}\le\dfrac{64}{27}\)
\(\Rightarrow a+b+c\le log_{64}\left(\dfrac{64}{27}\right)\Rightarrow M=log_{64}\left(\dfrac{64}{27}\right)\)
Lại có: \(x;y;z\ge0\Rightarrow a;b;c\ge0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}64^a\ge1\\64^b\ge1\\64^c\ge1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(64^b-1\right)\left(64^c-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow64^{b+c}+1\ge64^b+64^c\) (1)
Lại có: \(b+c\ge0\Rightarrow64^{b+c}\ge1\Rightarrow\left(64^a-1\right)\left(64^{b+c}-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow64^{a+b+c}+1\ge64^a+64^{b+c}\) (2)
Cộng vế (1);(2) \(\Rightarrow4=64^a+64^b+64^c\le64^{a+b+c}+2\)
\(\Rightarrow64^{a+b+c}\ge2\Rightarrow a+b+c\ge log_{64}2\)
\(\Rightarrow N=log_{64}2\)
\(\Rightarrow T=2log_{64}\left(\dfrac{64}{27}\right)+6log_{64}\left(2\right)\approx1,4\)
thầy ơi giải như này được ko ạ?
Chọn C