Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do a ; b ; c \(\ge1>0\) , áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số , ta được :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
=> BĐT được c/m
Áp dụng BĐT trên vào bài toán , ta có :
\(\frac{1}{2a-1}+1\ge\frac{4}{2a-1+1}=\frac{2}{a}\left(1\right)\)
Tương tự : \(\frac{1}{2b-1}+1\ge\frac{2}{b};\frac{1}{2c-1}+1\ge\frac{2}{c}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có : \(\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1}+3\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\left(3\right)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ( đã c/m ) , ta có :
\(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{a+c}\left(4\right)\)
Từ ( 3 ) ; ( 4 ) \(\Rightarrow\) đpcm
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a-1=1\\2b-1=1\\2c-1=1;a=b=c\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy ...
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
Đặt x = \(\frac{1}{2a+1},y=\frac{1}{2b+1},z=\frac{1}{2c+1}\)
Khi đó \(a=\frac{1-x}{2x},b=\frac{1-y}{2y},c=\frac{1-z}{2z}\)
Ta thấy 0 < x, y, z < 1 và x + y + z \(\ge1\)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành :
\(\frac{x}{3-2x}+\frac{y}{3-2y}+\frac{z}{3-2z}\ge\frac{3}{7}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có :
\(\frac{x}{3-2x}+\frac{y}{3-2y}+\frac{z}{3-2z}\)
\(=\frac{x^2}{3x-2x^2}+\frac{y^2}{3y-2y^2}+\frac{z^2}{3z-2z^2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x+y+z\right)-2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x+y+z\right)-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\frac{3}{\frac{9}{x+y+z}-2}\ge\frac{3}{7}\)
Cbht
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2a+b+c+a+2b+c+a+b+2c}=\frac{9}{4a+4b+4c}\)Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
a) Chứng minh được BĐT \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)(*)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b
Áp dụng BĐT (*) vào bài toán ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\\\frac{1}{x+2y+z}=\frac{1}{x+y+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\\\frac{1}{x+y+2z}=\frac{1}{x+y+z+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\cdot2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT (*) ta có:
\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right);\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right);\frac{1}{z+x}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\cdot2\cdot\frac{1}{4}\cdot2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)
\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{3}{4}\)
b) áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\\\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{b+c-a+a+c-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\\\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\end{cases}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT ta có:
\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2VP\)
\(\Rightarrow VT\ge VP\)
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
Áp dụng bđt \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Ta có
\(\frac{1}{2a+b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b+c}\right)=\frac{1}{8a}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\frac{1}{a+2b+c}\le\frac{1}{8b}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{8c}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\)
\(\sum\frac{1}{2a+b+c}=\sum\frac{1}{a+a+b+c}\le\frac{1}{16}\sum\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{4}\)
Ap dung bdt \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right).\left(x,y>0\right)\) lien tiep la duoc
Chuc bn thanh cong
svác-xơ ngược dấu.
\(\frac{16}{2a+3b+3c}=\frac{16}{\left(a+b\right)+\left(c+b\right)+\left(b+c\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{a+b}+\frac{2}{c+b}+\frac{1}{c+a}\)
Tương tự
\(\frac{16}{2b+3c+3a}\le\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)
\(\frac{16}{2c+3a+3b}\le\frac{2}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\)
Cộng lại ta được:
\(16VT\le4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\left(đpcm\right)\)
Sửa đề:
Cho a, b, c > 1(chỗ này là ý tui, dùng Wolfram Alpha sẽ thấy nếu không sửa như vầy thì đẳng thức không xảy ra). CMR:
\(\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1}+3\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\) (cái này là ý chủ tus đấy nhá!)
\(\Leftrightarrow\frac{2a}{2a-1}+\frac{2b}{2b-1}+\frac{2c}{2c-1}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\) (tách ghép vế trái + làm chặt BĐT do \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b};..\))
\(\Leftrightarrow\frac{2a^2-4a+2}{a\left(2a-1\right)}+\frac{2b^2-4b+2}{b\left(2b-1\right)}+\frac{2c^2-4c+1}{c\left(2c-1\right)}\ge0\) (chuyển vế + quy đồng)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a-1\right)^2}{a\left(2a-1\right)}+\frac{2\left(b-1\right)^2}{b\left(2b-1\right)}+\frac{2\left(c-1\right)^2}{c\left(2c-1\right)}\ge0\) (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy ta có đpcm.
\(\frac{1}{2a-1}+1\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{2a-1+1}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)