Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì \(\left|a\right|\le1;\left|b-1\right|\le2\)
\(=>\left|a\right|\cdot\left|b-1\right|=\left|ab-a\right|\le2\)
Áp dụng BĐT \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\) ta có:
\(\left|a-c+ab-a\right|\le\left|a-c\right|+\left|ab-a\right|=2+3=5\)
\(=>\left|ab-c\right|\le5\)
Ta có:
\(\frac{a}{a+2b}=\frac{b}{b+2c}=\frac{c}{c+2a}=\frac{a+b+c}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{3}\) vì a,b,c nguyên dương
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a=a+2b\\3b=b+2c\\3c=c+2a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=2b\\2b=2c\\2c=2a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a=b=c\Rightarrow a+b+c=3a⋮3\left(đpcm\right)\)
Vì vai trò của a, b, c, d như nhau nên giả sử \(a\le b\le c\le d\)
\(\Rightarrow a^2\le b^2\le c^2\le d^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}\ge\frac{1}{b^2}\ge\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{d^2}\)
\(\Rightarrow4.\frac{1}{a^2}\ge\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}\)
\(\Rightarrow\frac{4}{a^2}\ge1\Rightarrow a^2\le4\)
\(\Rightarrow a\le2\)
TH1: \(a=1\)
⇒Không có b, c, d thỏa mãn đề bài.
TH2: \(a=2\)
\(\Rightarrow a=b=c=d=2\) thỏa mãn đề bài
Vậy
\(a=b=c=d=2\) thỏa mãn đề bài
Ta có: \(a^2+b^2+c^2=m^2+n^2+p^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+m^2+n^2+p^2=2\left(m^2+n^2+p^2\right)\)
Vì \(2\left(m^2+n^2+p^2\right)⋮2\)\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+m^2+n^2+p^2⋮2\)(1)
Vì tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 nên:
\(a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+m\left(m-1\right)\)
\(+n\left(n-1\right)+p\left(p-1\right)\)là số chẵn
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2+m^2+n^2+p^2\right)-\left(a+b+c+m+n+p\right)⋮2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra a + b + c + m + n + p chia hết cho 2
Mà a + b + c + m + n + p > 2 ( do a,b,c,m,n,p dương) nên a + b + c + m + n + p là hợp số (đpcm)